papier de Weibull

Imaginez que l’on reporte les durées de fonctionnement de pièces, de la plus courte à la plus longue. Sur un quadrillage ordinaire, les points forment souvent une courbe difficile à interpréter. Le papier de Weibull déforme les graduations des deux axes pour qu’une série suivant une loi de Weibull s’aligne presque sur une droite.

La pente renseigne alors sur la forme de la distribution, tandis qu’un niveau de probabilité repère son échelle. L’alignement sert aussi de diagnostic visuel : une courbure persistante signale que le modèle ou certaines hypothèses méritent d’être revus.

Le papier de Weibull est un graphique de probabilités dont l’axe des durées est logarithmique et dont l’axe des probabilités cumulées reçoit une graduation transformée. Il s’applique à des observations ordonnées auxquelles on associe des fréquences cumulées. Si ces observations sont compatibles avec une loi de Weibull, leurs points sont approximativement alignés.

La variable observée est notée t. La probabilité cumulée avant t est notée F(t). Le paramètre de forme positif est β, le paramètre d’échelle positif est η et le paramètre de localisation est γ. Pour une loi de Weibull à trois paramètres et pour t au moins égal à γ, la relation est :Pour la linéarisation, il faut t strictement supérieur à γ et F(t) strictement comprise entre 0 et 1. En posant l’abscisse transformée égale au logarithme de t − γ et l’ordonnée transformée égale au logarithme de l’opposé du logarithme de 1 − F, on obtient :La pente de la droite vaut donc β. Au niveau F ≈ 63,2 %, l’abscisse transformée vaut ln(η) ; après transformation inverse, on obtient t − γ = η, donc t = η lorsque γ = 0.

Dans le modèle à deux paramètres, γ est fixé à 0. Dans le modèle à trois paramètres, il faut déterminer ou ajuster γ avant d’obtenir la bonne linéarisation ; sa lecture dépend donc du papier et de la procédure employés. Le tracé fournit une estimation graphique, sensible au choix des positions de tracé et à la dispersion de l’échantillon.

Un jeu simplifié décrit la durée de fonctionnement d’un composant. Le paramètre de localisation est fixé à γ = 0. Trois points cumulés sont disponibles : 50 h pour F ≈ 22,12 %, 100 h pour F ≈ 63,21 % et 150 h pour F ≈ 89,46 %.

1. On place ces trois couples durée-probabilité sur le papier. Ils sont alignés, comme le montre le tracé associé à cet exemple.

2. L’abscisse transformée est le logarithme de la durée et l’ordonnée transformée est le logarithme de l’opposé du logarithme de 1 − F. Entre 50 h et 100 h, la pente estimée vaut :On lit donc β ≈ 2.

3. Le niveau F ≈ 63,2 % coupe la droite à 100 h. Comme γ = 0, on lit η ≈ 100 h.

4. Le contrôle au troisième point utilise ces estimations :La valeur obtenue, soit environ 89,46 %, retrouve la donnée annoncée à la précision d’arrondi.

En fiabilité, on ordonne les durées avant défaillance, on leur attribue des probabilités cumulées, puis on observe l’alignement. Une droite nette rend l’estimation graphique utile ; une courbure structurée conduit à essayer un autre modèle ou une autre valeur de γ.

Pour un contrôle rapide, la pente donne une estimation de β et le croisement avec 63,2 % donne η lorsque γ = 0. Si γ n’est pas nul, ce croisement donne t − γ = η, donc la durée lue vaut γ + η. Si des intervalles d’incertitude ou une comparaison précise sont nécessaires, une estimation numérique remplace la simple lecture à la règle.

Avec des observations censurées, les points ne se construisent pas comme dans un échantillon entièrement observé. Il faut employer une méthode de positions de tracé adaptée ou un ajustement statistique qui traite explicitement la censure.

Le papier de Weibull est le support gradué ; la loi de Weibull est le modèle probabiliste. Une feuille portant des axes transformés est le papier, tandis qu’une formule donnant une probabilité en fonction de t décrit la loi.

Un graphique quantile-quantile compare des quantiles observés à des quantiles théoriques. Le papier de Weibull place plutôt des durées face à des probabilités cumulées transformées. Les deux peuvent tester un ajustement, mais leurs coordonnées ne sont pas les mêmes.

Un papier semi-logarithmique ne transforme qu’un axe selon une échelle logarithmique ordinaire. Le papier de Weibull utilise en plus une graduation particulière des probabilités ; une probabilité de 50 % n’y occupe donc pas le milieu arithmétique de l’axe vertical.

Avec peu d’observations, quelques points peuvent sembler alignés par hasard. Une pente lue à la règle reste alors instable ; il faut compléter le tracé par une estimation numérique et quantifier l’incertitude.

Les probabilités empiriques dépendent de la convention de rang choisie. Changer de position de tracé déplace surtout les points extrêmes ; il faut annoncer la convention et ne pas comparer deux droites construites avec des règles différentes.

Lorsque γ est inconnu, tracer directement le logarithme de t peut produire une courbure même si un modèle de Weibull à trois paramètres convient. Il faut ajuster γ et travailler avec t − γ, qui doit rester strictement positif.

Le cas β = 1 est charnière : la loi de Weibull devient une loi exponentielle décalée. Une rupture de pente ou deux alignements distincts ne se résument pas à ce cas ; ils peuvent signaler des populations mélangées, et un modèle unique doit alors être remis en question.

La loi de Weibull donne le modèle probabiliste dont le papier transforme la représentation en droite.

La fonction de répartition précise le sens de la probabilité cumulée placée sur l’axe vertical.

La loi exponentielle éclaire le cas particulier β = 1 et son taux de défaillance constant.