Probabilités et statistiquesFormule · Glossaire
Antirépartition (formule d')
La formule d'antirépartition exprime la probabilité qu'une variable aléatoire soit strictement supérieure à une valeur donnée. Pour une variable aléatoire X, la fonction d'antirépartition (ou fonction de survie) est définie par S(x) = P(X > x) = 1 - F(x), où F est la fonction de répartition. Cette fonction est décroissante, tend vers 1 quand x tend vers -infini et vers 0 quand x tend vers +infini. Elle est utilisée en fiabilité et en analyse de survie pour modéliser la durée de vie de systèmes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter S(x) comme une probabilité de dépassement strict.
- Passer de la fonction de répartition à la fonction de survie.
- Calculer une probabilité de survie dans un modèle exponentiel.
- Relier l'aire sous S à l'espérance d'une variable positive.
En clair
Un appareil fonctionne depuis huit ans. Plutôt que de demander s'il est déjà tombé en panne, on cherche la probabilité qu'il fonctionne encore au-delà de cet âge. L'antirépartition répond directement à cette question de dépassement.
À chaque durée, elle associe la part de la population dont la durée de vie est strictement plus grande. Quand la durée demandée augmente, cette part ne peut qu'être stable ou diminuer. La même lecture vaut pour toute variable aléatoire, pas seulement pour une durée.
Définition
Soit une variable aléatoire réelle, notée X. Sa fonction de répartition, notée F, donne la probabilité que X soit inférieure ou égale à un seuil x. La fonction d'antirépartition, aussi appelée fonction de survie et notée S, donne au contraire la probabilité d'un dépassement strict : . Cette égalité vaut pour toute variable aléatoire réelle, discrète, continue ou mixte.
La fonction S est décroissante au sens large, prend ses valeurs entre 0 et 1, tend vers 1 lorsque x tend vers −∞ et vers 0 lorsque x tend vers +∞. Elle peut comporter des sauts lorsque X attribue une probabilité positive à certaines valeurs. Le choix du signe strict est essentiel : au seuil x, la masse éventuelle en x appartient à F(x), mais pas à S(x).
Pour une variable X positive ou nulle, son espérance, éventuellement infinie, est l'aire sous sa fonction de survie : . Cette identité est souvent appelée formule d'antirépartition.
Le principe
Pour une variable aléatoire réelle X et un seuil réel x, si F désigne la fonction de répartition de X, alors la fonction de survie S vérifie :
Si X est positive ou nulle, l'aire sous S sur les valeurs positives donne son espérance, avec la valeur +∞ autorisée :
Quand l'utiliser
Le calcul de S(x) par la relation S(x) = 1 − F(x) exige une variable aléatoire réelle X, un seuil x et sa fonction de répartition F ; S peut aussi être obtenue directement à partir de la loi de X. Aucune hypothèse de continuité n'est nécessaire pour écrire S(x) = 1 − F(x). En revanche, la formule intégrale de l'espérance sur [0, +∞[ suppose que X est positive ou nulle. Elle reste exacte lorsque l'espérance est infinie, si l'intégrale est elle aussi comprise au sens étendu.
Si X peut prendre des valeurs négatives, intégrer seulement S à partir de 0 ne restitue pas toute son espérance. Il faut alors traiter séparément les parties positive et négative, sous des conditions d'intégrabilité adaptées. Autre contre-cas : pour calculer la probabilité X ≥ x lorsqu'une masse existe exactement en x, S(x) ne suffit pas ; il faut ajouter la probabilité de l'égalité.
Un exemple, pas à pas
On modélise la durée de vie T d'un composant, en années, par une loi exponentielle de moyenne 5 ans. Sa fonction de survie est pour toute durée t positive ou nulle. On cherche la probabilité que le composant fonctionne au-delà de 8 ans, puis on contrôle la moyenne annoncée.
1. Les données sont t = 8 ans et S(t) = e−t/5.
2. On remplace t par 8 : S(8) = e−8/5 = e−1,6.
3. On évalue cette expression : S(8) ≈ 0,2019.
4. La probabilité que la durée de vie dépasse strictement 8 ans est donc d'environ 20,2 %.
2. On remplace t par 8 : S(8) = e−8/5 = e−1,6.
3. On évalue cette expression : S(8) ≈ 0,2019.
4. La probabilité que la durée de vie dépasse strictement 8 ans est donc d'environ 20,2 %.
Le contrôle utilise l'aire sous la courbe complète :
On retrouve exactement l'espérance de 5 ans. Le point rouge du SVG est placé à la hauteur S(8) ; la zone jaune illustre l'intégrale tronquée à 15 ans, qui vaut environ 4,7511 ans, la petite aire de la queue au-delà de 15 ans n'étant pas représentée.
En pratique
En fiabilité, S(t) répond à une question opérationnelle : quelle proportion de composants dépassera une durée t ? On privilégie cette fonction à F(t) lorsque l'événement observé est la survie au-delà du seuil, plutôt que la panne avant ou au seuil.
En analyse de survie, la même lecture s'applique à une durée avant événement. Une valeur élevée de S(t) indique qu'une forte probabilité subsiste au-delà de t. Si la question porte plutôt sur le risque instantané parmi les sujets encore suivis, on emploie le taux de défaillance.
Pour calculer l'espérance d'une variable positive, l'intégrale de S peut être plus commode que le calcul direct. On retient cette voie lorsque les probabilités de dépassement sont connues ou faciles à intégrer.
À ne pas confondre
Fonction de répartition. Elle mesure l'événement X ≤ x, tandis que l'antirépartition mesure X > x. À un même seuil, les deux probabilités ont pour somme 1. Pour le composant à 8 ans, S(8) ≈ 0,2019, alors F(8) ≈ 0,7981.
Taux de défaillance. La fonction de survie donne une probabilité cumulée de dépasser t. Le taux de défaillance décrit un risque instantané conditionnel parmi les systèmes encore en fonctionnement. Deux modèles peuvent donc partager une même survie à un instant sans avoir le même risque instantané à cet instant.
Limites et pièges
Seuil portant une masse. Si P(X = x) > 0, alors P(X > x) et P(X ≥ x) diffèrent. Le symptôme est un saut de la fonction de répartition au seuil. Il faut conserver le signe demandé et ajouter P(X = x) seulement pour passer du dépassement strict au dépassement large.
Valeurs négatives. La formule intégrale sur [0, +∞[ ne donne pas l'espérance complète d'une variable qui peut être négative. Une contribution négative manque. Il faut décomposer la variable en parties positive et négative et vérifier leur intégrabilité.
Espérance infinie. Une fonction de survie tendant vers 0 ne garantit pas une aire finie. Le symptôme est la divergence de l'intégrale de S. Dans ce cas, la formule reste valable au sens étendu et conclut à une espérance égale à +∞.
Décroissance non stricte. S peut rester constante sur un intervalle où X ne prend aucune valeur. Il ne faut donc pas déduire d'un palier que la fonction cesse d'être une antirépartition : la propriété générale est la décroissance au sens large.
Pour aller plus loin
La fonction de répartition présente le point de vue complémentaire : elle cumule les probabilités jusqu'au seuil et éclaire les sauts éventuels.
La variable aléatoire précise l'objet auquel F et S sont associées, ainsi que la lecture probabiliste de ses valeurs.
La loi exponentielle prolonge l'exemple conducteur avec une fonction de survie calculable et un modèle de durée positive.
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