fonction de survie

Dix personnes commencent un suivi le même jour. Après cinq mois, certaines ont connu l'événement étudié, tandis que d'autres sont encore suivies ou ont quitté l'étude. La fonction de survie répond à une question précise : quelle proportion probabiliste peut encore dépasser cinq mois sans cet événement ?

La courbe part en haut, reste horizontale tant qu'aucun événement ne survient, puis descend par paliers. Une sortie de suivi n'est pas comptée comme un événement : elle réduit seulement les informations disponibles pour les paliers suivants.

On note T la durée aléatoire entre un instant de référence et l'événement étudié. La fonction de survie associe à chaque durée t la probabilité que T dépasse strictement t : $S(t)=P(T>t)S(t)=P(T>t)$. Elle s'applique aussi bien à la survie d'une personne qu'à la durée de fonctionnement d'un système. Le mot « survie » signifie ici « ne pas avoir encore connu l'événement défini » ; cet événement doit donc être fixé avant toute lecture.

Si F est la fonction de répartition de T, alors $S(t)=1-F(t)S(t)=1-F(t)$. La fonction S est décroissante : demander de dépasser une durée plus longue ne peut pas augmenter la probabilité. Lorsque T possède une densité notée f, la survie est la probabilité portée au-delà de t : $S(t)={\int }_t^{+\mathrm{\infty }}f(u)duS(t)=\backslash int\_t^\{+\backslash infty\}\; f(u)\backslash ,du$.

Avec des observations censurées, la durée exacte de certains individus reste inconnue : on sait seulement qu'elle dépasse leur dernière date de suivi. L'estimateur de Kaplan-Meier utilise, à chaque date d'événement, le nombre d'individus encore à risque juste avant cette date. Il produit une estimation en escalier de S, sans imposer une forme paramétrique à la loi des durées.

Une analyse de survie réunit cinq éléments. L'origine fixe le début commun du temps. La durée T mesure l'attente jusqu'à l'événement défini. L'indicateur d'événement sépare un événement observé d'une donnée censurée. L'ensemble à risque compte les individus encore observés et sans événement juste avant chaque date. Enfin, la courbe traduit les probabilités estimées en paliers.

L'origine donne un sens aux durées, et la définition de l'événement donne un sens au mot « survie ». Les événements font baisser l'estimation ; les censures ne créent pas de baisse, mais diminuent l'ensemble à risque utilisé ensuite. Ces données suffisent à calculer les facteurs successifs de Kaplan-Meier et à tracer la courbe correspondante. La couleur ou l'épaisseur du tracé ne définit pas la fonction.

Une cohorte de 10 personnes est suivie 14 mois. Un événement survient au mois 2, deux au mois 5, un au mois 8 et un au mois 12. Une censure a lieu aux mois 3, 6 et 10 ; les deux dernières au mois 14. Calculons l'estimation au mois 5.

1. Juste avant le mois 2, 10 personnes sont à risque. Après un événement, le premier facteur vaut (10 − 1)/10 = 9/10.

2. La censure du mois 3 ne fait pas descendre la courbe. Elle laisse 8 personnes à risque juste avant le mois 5.

3. Au mois 5, deux événements parmi ces 8 personnes donnent le facteur (8 − 2)/8 = 6/8. Le produit de Kaplan-Meier est donc $\widehat{S}(5)=\frac{9}{10}\times \frac{6}{8}=\frac{27}{40}=\mathrm{0,675}\backslash widehat\{S\}(5)=\backslash frac\{9\}\{10\}\backslash times\backslash frac\{6\}\{8\}=\backslash frac\{27\}\{40\}=0\{,\}675$.

4. L'estimation de la probabilité de dépasser cinq mois sans événement vaut 67,5 %. Un contrôle direct redonne 0,9 × 0,75 = 0,675. Ce résultat n'est pas 7/10 : la personne censurée au mois 3 n'est ni un événement ni une personne dont la durée finale est connue.

La courbe complète conserve les mêmes données : les censures sont marquées sans chute et chaque événement applique un nouveau facteur au palier précédent.

En médecine clinique, on fixe l'origine au diagnostic, à l'intervention ou au début du traitement, puis on compare les courbes de groupes de patients. Lorsque toutes les durées sont connues, une proportion directe peut suffire ; Kaplan-Meier devient utile lorsque des suivis s'arrêtent avant l'événement.

En épidémiologie et en démographie, on définit l'événement et l'origine, puis on lit la probabilité de dépasser une durée. Une proportion à une date suffit si seule cette échéance compte et si tous les statuts sont connus ; la courbe convient lorsque l'évolution dans le temps ou les suivis incomplets importent.

En fiabilité, T représente la durée avant la défaillance d'un système. La fonction de survie donne alors la probabilité de fonctionner au-delà d'un temps fixé. Une étude des seules durées moyennes répond à une autre question ; la courbe montre comment cette probabilité évolue au fil du temps.

La fonction de survie S et la fonction de répartition F décrivent la même durée T depuis deux côtés opposés. S(t) porte sur « T > t », tandis que F(t) porte sur « T ≤ t ». Pour un même seuil, leur somme vaut 1.

La fonction de survie théorique ne se confond pas avec son estimation de Kaplan-Meier. La première appartient à la loi de T ; la seconde est calculée à partir d'un échantillon. Deux échantillons issus du même cadre peuvent donc produire des courbes estimées différentes.

Une censure n'est pas un événement. Dans l'exemple, la personne perdue de vue au mois 3 a dépassé trois mois sans événement connu, mais sa durée finale n'est pas observée. La compter comme un événement ferait baisser la courbe à tort.

La valeur au seuil dépend de l'inégalité choisie. Ici, S(t) = P(T > t) exclut un événement survenu exactement à t, alors que P(T ≥ t) l'inclurait. Avec une durée continue, cette différence disparaît à un point isolé ; avec des temps discrets ou arrondis, elle peut modifier un palier.

Un palier après la dernière observation ne prouve pas que la probabilité restera constante indéfiniment. Dans l'exemple, les deux censures au mois 14 n'annoncent aucun événement après cette date : au-delà, les données ne permettent simplement plus d'estimer une nouvelle baisse.

Kaplan-Meier exploite correctement une censure lorsque la poursuite ou l'arrêt du suivi n'apporte pas, à lui seul, une information cachée sur la durée future après prise en compte du cadre étudié. Si les personnes les plus fragiles quittent systématiquement le suivi, la courbe peut être biaisée ; il faut alors étudier le mécanisme de censure.

Les affirmations S(0) = 1 et S(t) tend vers 0 supposent respectivement que l'événement ne se produit pas à l'origine et que la durée est finie avec probabilité 1. Sans ces hypothèses, S(0) peut être inférieure à 1 ou conserver une limite positive.

La fonction de répartition présente la probabilité complémentaire F(t) et éclaire directement l'identité S(t) = 1 − F(t).

La densité de probabilité montre, lorsque cette densité existe, pourquoi l'aire située après t donne la survie S(t).

La fiche sur la variable aléatoire replace la durée T parmi les objets qui associent une valeur numérique aux issues d'une expérience.