aplatissement de distribution

Imaginez deux séries de huit mesures. Dans la première, toutes les valeurs restent à une unité du centre. Dans la seconde, six valeurs sont au centre, mais deux s'en éloignent de deux unités. Les deux séries ont pourtant la même moyenne et la même variance.

L'aplatissement, aussi appelé kurtosis, distingue ces profils en donnant beaucoup de poids aux écarts extrêmes. Il est élevé pour la seconde série, dont les valeurs centrales coexistent avec deux valeurs éloignées. Il est faible pour la première, sans valeur extrême.

L'aplatissement est un indice sans unité qui décrit le poids des écarts importants dans une distribution. Pour une variable aléatoire X, on note μ sa moyenne et σ son écart-type. Si σ est strictement positif et si le quatrième moment centré est fini, le coefficient d'aplatissement de Pearson vaut :

La puissance quatre rend les grands écarts particulièrement influents. Avec la convention de Pearson, la distribution normale a pour référence β₂ = 3. L'excès d'aplatissement de Fisher retranche 3 : γ₂ = β₂ − 3, et la normale a alors pour référence 0. Une valeur au-dessus de la référence est dite leptokurtique ; une valeur en dessous, platykurtique ; une valeur égale à la référence, mésokurtique. Ces termes comparent le quatrième moment standardisé, pas à eux seuls la hauteur du sommet. Pour des données observées, plusieurs estimateurs corrigés ou non corrigés existent ; le logiciel et la convention doivent donc être indiqués.

Comparons deux séries considérées comme deux populations complètes. La série A contient −1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, 1. La série B contient −2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2. Chaque série comporte huit valeurs et aucune unité n'est imposée.

1. Additionnez les valeurs. Les deux sommes valent 0 ; leurs moyennes sont donc μ_A = μ_B = 0.

2. Calculez la moyenne des carrés des écarts au centre :

3. Calculez ensuite les quatrièmes moments centrés. Ils valent 1 pour A et 4 pour B. Comme chaque variance vaut 1, la formule de Pearson donne β_2,A = 1 et β_2,B = 4.

La série B a donc l'aplatissement le plus élevé : ses deux écarts de 2 pèsent chacun 2⁴ = 16. Le diagramme matérialise les huit occurrences de chaque série. Pour contrôler le résultat, recomptez les points puis vérifiez que les carrés totalisent 8 dans les deux cas, tandis que les puissances quatrièmes totalisent 8 pour A et 32 pour B.

Pour comparer la forme de séries mesurées sur des échelles différentes, standardisez d'abord les valeurs, puis examinez l'aplatissement. Si la question porte seulement sur la dispersion absolue, la variance ou l'écart-type est l'indice adapté.

Pour repérer une forte contribution des observations éloignées, confrontez le kurtosis à un histogramme ou à un graphique quantile-quantile. Quelques points très éloignés peuvent expliquer une valeur élevée ; la médiane et les quantiles décrivent mieux le centre lorsqu'ils dominent l'analyse.

Pour vérifier l'adéquation à une distribution normale, précisez d'abord la convention : β₂ proche de 3 ou γ₂ proche de 0. Cette proximité ne suffit pas à établir la normalité ; elle contrôle seulement un aspect de la forme.

Variance. Elle mesure l'échelle des écarts autour de la moyenne, tandis que l'aplatissement standardise leur quatrième moment. Dans l'exemple, les deux variances valent 1, mais les kurtosis valent 1 et 4.

Asymétrie. Le coefficient d'asymétrie distingue une queue plus étendue d'un côté que de l'autre. Une distribution peut être parfaitement symétrique et avoir un fort aplatissement : la série B possède deux extrêmes opposés et un kurtosis de 4.

Hauteur du sommet. Un pic visuellement haut dépend aussi de la représentation, des classes d'un histogramme et de la structure centrale. Le kurtosis est calculé à partir des puissances quatrièmes des écarts ; deux courbes d'allure centrale proche peuvent donc avoir des queues différentes.

Variance nulle. Si toutes les valeurs sont identiques, σ = 0 et la division par σ⁴ est impossible. Il faut décrire la distribution comme dégénérée, sans lui attribuer de kurtosis.

Quatrième moment infini. Certaines distributions à queues très lourdes ont une moyenne et une variance finies, mais pas de quatrième moment fini. Le symptôme n'est pas un kurtosis gigantesque : le coefficient théorique n'est simplement pas défini.

Deux références numériques. La normale vaut 3 selon Pearson et 0 pour l'excès de Fisher. Avant de comparer un résultat au seuil mésokurtique, vérifiez si le logiciel retranche 3 et s'il applique une correction d'échantillon.

Échantillon court. La puissance quatre amplifie fortement une seule observation éloignée. Une estimation instable doit être accompagnée de la taille de l'échantillon, d'un graphique des données et, si l'enjeu l'exige, d'une analyse de sensibilité avec et sans le point extrême.

Le coefficient d'aplatissement prolonge l'étude de l'indice et de ses conventions de calcul.

La fiche sur le moment replace le quatrième moment centré parmi les mesures numériques d'une distribution.

La variance d'une variable aléatoire explique le second moment centré utilisé pour standardiser le kurtosis.