quadrature d'un triangle

Imaginez un triangle découpé dans du papier. Le quadrer, c’est construire un carré qui couvre exactement la même surface, sans chercher à conserver sa forme ni son périmètre.

Le geste essentiel consiste à choisir un côté comme base et à regarder la hauteur perpendiculaire correspondante. Ces deux longueurs donnent d’abord un triangle rectangle de même aire, puis un rectangle. La quadrature de ce rectangle fournit enfin le carré recherché.

La quadrature d’un triangle est une construction à la règle et au compas qui produit un carré de même aire que le triangle donné. Elle s’applique à un triangle quelconque, notamment à un triangle équilatéral. Elle conserve une aire, et non la forme du triangle.

On choisit un côté du triangle. Sa longueur est notée b, pour base, et la distance perpendiculaire du sommet opposé à la droite portant cette base est notée h, pour hauteur. Pour un triangle non dégénéré, ces deux longueurs sont strictement positives. L’aire A du triangle vérifie :

Un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires mesurent b et h a donc la même aire. On peut ensuite former un rectangle de côtés b/2 et h. Si s désigne le côté du carré final, la quadrature du rectangle construit la moyenne géométrique de ces deux longueurs, si bien que $s=\sqrt{\frac{bh}{2}}s=\backslash sqrt\{\backslash frac\{b\; h\}\{2\}\}$. Les découpages en puzzles constituent d’autres réalisations concrètes de la même égalité d’aires.

La construction relie cinq éléments. Le triangle initial fournit l’aire à conserver. Une base choisie et sa hauteur correspondante, nécessairement perpendiculaire à la droite de base, déterminent cette aire. Le rectangle intermédiaire reprend la hauteur et la moitié de la base. Le carré final a pour côté la moyenne géométrique des deux dimensions du rectangle.

Le choix d’un autre côté change la base, la hauteur et le rectangle intermédiaire, mais pas l’aire à reproduire. L’orientation, la couleur ou l’échelle du dessin ne définissent donc pas la quadrature. Les longueurs de la base et de la hauteur suffisent à calculer l’aire et à construire le côté du carré.

Prenons un triangle dont la base mesure 8 cm et dont la hauteur correspondante mesure 4,5 cm. Ces deux longueurs sont les seules données nécessaires. On cherche un carré de même aire et l’on note s la longueur de son côté.

1. L’aire du triangle vaut $\frac{8\times \mathrm{4,5}}{2}=18\backslash frac\{8\backslash times\; 4\{,\}5\}\{2\}=18$ cm².
2. On trace la hauteur de 4,5 cm et on partage la base de 8 cm en deux segments égaux. À une extrémité de la hauteur, on trace une perpendiculaire, on y reporte la demi-base de 4 cm, puis on complète le rectangle par des parallèles. On obtient ainsi un rectangle de 4 cm sur 4,5 cm, dont l’aire vaut bien 4 × 4,5 = 18 cm².
3. Sur un segment de 8,5 cm, on marque deux portions de 4 cm et 4,5 cm, puis on trace le demi-cercle de diamètre 8,5 cm.
4. La perpendiculaire au point de séparation coupe le demi-cercle à une distance $s=\sqrt{4\times \mathrm{4,5}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}s=\backslash sqrt\{4\backslash times\; 4\{,\}5\}=\backslash sqrt\{18\}=3\backslash sqrt\{2\}$ cm du segment. Cette distance est le côté du carré.

Le carré obtenu a donc une aire exacte de 18 cm². Pour contrôler la construction numériquement, son côté mesure environ 4,24 cm et 4,24² vaut environ 18,0 ; l’écart éventuel vient de l’arrondi. La figure synthétise les trois formes de même aire.

Dans une construction géométrique, on choisit la base dont la hauteur est la plus commode à tracer. Une autre base convient aussi, mais elle conduit à un rectangle intermédiaire différent.

Pour fabriquer un puzzle, on découpe et réarrange les pièces du triangle jusqu’à obtenir un rectangle ou directement un carré. Cette voie est préférable quand on veut rendre l’égalité des aires visible par déplacement des mêmes pièces.

Si seul le nombre donnant l’aire est recherché, la formule base-hauteur suffit et la construction du carré est inutile. Lorsque les trois côtés sont connus mais que la hauteur ne l’est pas, l’algorithme de Héron fournit une autre voie de calcul.

Même aire et même forme. Deux figures équivalentes ont la même aire sans être superposables. Dans l’exemple, le triangle et le carré couvrent chacun 18 cm², mais leurs côtés et leurs périmètres ne sont pas conservés.

Calculer l’aire et quadrer le triangle. Le calcul donne le nombre 18 cm². La quadrature exige en plus la construction géométrique d’un carré ayant cette aire.

Quadrature du triangle et quadrature du rectangle. La première transforme le problème posé par le triangle ; la seconde est l’étape finale appliquée au rectangle équivalent.

Hauteur mal associée. Une longueur oblique issue du sommet ne remplace pas la hauteur. Il faut tracer la perpendiculaire à la droite qui porte la base choisie, sinon l’aire calculée et le carré sont faux.

Triangle dégénéré. Si la hauteur vaut 0, les trois sommets sont alignés et l’aire vaut 0. La construction se réduit alors à un côté de carré nul : elle ne produit pas un carré non dégénéré.

Étape intermédiaire prise pour une forme unique. Les rectangles de côtés b/2 et h, ou b et h/2, ont la même aire. Le rectangle n’est qu’un relais ; le côté positif du carré final est, lui, fixé par l’aire.

Mesures arrondies. Une construction idéale part de longueurs exactes. Avec une règle graduée, 4,5 cm et 4,24 cm sont des mesures de précision finie ; le contrôle des aires doit tenir compte de cette précision, et non exiger une égalité numérique parfaite.

Quadrature d’un rectangle — Cette étape construit le côté du carré comme moyenne géométrique des dimensions du rectangle équivalent.

L’algorithme de Héron — Une autre manière d’obtenir l’aire d’un triangle lorsque ses trois côtés sont connus.