Dinostrate

Dans la Grèce antique, vers 390 à 320 av. J.-C., Dinostrate étudie un défi concret : obtenir un carré ayant exactement la même aire qu'un cercle. Disciple de Platon et frère de Ménechme, il travaille avec des proportions et une courbe particulière, la quadratrice. Cette courbe relie son nom à la quadrature du cercle. Elle est aussi associée à Hippias et à un autre défi grec, le partage d'un angle en trois angles égaux.

Dinostrate est un mathématicien grec de l'Antiquité, situé vers 390 à 320 av. J.-C. La source le présente comme le frère de Ménechme et le disciple de Platon. Son nom reste attaché à la quadratrice, une courbe transcendante employée dans l'étude de la quadrature du cercle.

La quadrature du cercle demande de construire, avec la règle et le compas, un carré dont l'aire égale exactement celle d'un cercle donné. Dinostrate aborde ce problème par des proportions et des moyennes proportionnelles. La même courbe est également nommée trisectrice d'Hippias, car elle intervient dans la trisection d'un angle. Les deux usages doivent être distingués : l'un vise une égalité d'aires, l'autre un partage en trois angles égaux.

Une construction fondée sur cette courbe ne constitue pas pour autant une construction exacte avec les seuls instruments classiques. L'impossibilité géométrique de la quadrature du cercle, de la duplication du cube et de la trisection générale de l'angle ne fut établie rigoureusement qu'au XIXe siècle, par les travaux associés dans la source à Gauss, Wantzel et Lindemann.

Prenons comme fil conducteur un cercle de rayon 1 unité. Données :
le rayon vaut 1 unité ;
l'aire du cercle vaut π unités carrées ;
le carré recherché doit avoir la même aire.

1. L'aire du cercle est π × 1², soit exactement π unités carrées.

2. Si le côté du carré est noté c, son aire vaut c². L'égalité d'aires impose donc c² = π.

3. La longueur positive cherchée est c = √π unité, soit environ 1,772 unité.

4. Le contrôle consiste à élever cette valeur exacte au carré : (√π)² = π. Les deux aires coïncident exactement. Le dessin annoncé rend visible cette égalité, mais il ne fournit pas une construction exacte de √π à la règle et au compas.

Dans un texte d'histoire des mathématiques, le nom de Dinostrate signale surtout la recherche d'un carré égal en aire à un cercle. Si le passage traite plutôt du partage d'un angle en trois, le repère pertinent devient la trisectrice d'Hippias.

Devant un dessin, il faut d'abord identifier l'objectif. Une égalité entre l'aire d'un cercle et celle d'un carré relève de la quadrature ; trois angles égaux relèvent de la trisection. La quadratrice peut intervenir dans les deux contextes.

Pour contrôler un calcul d'aires, on compare π fois le carré du rayon au carré du côté. Si l'on exige une construction avec les seuls instruments classiques, cette égalité numérique ne suffit pas : il faut aussi que chaque longueur soit constructible à la règle et au compas.

Quadratrice et quadrature du cercle. La quadratrice est une courbe ; la quadrature est le problème de construction. Un tracé courbe désigne l'outil étudié, tandis que le carré et le cercle d'aires égales désignent le but.

Quadrature et trisection. La première compare l'aire d'un cercle et d'un carré. La seconde partage un angle en trois angles égaux. La présence de trois secteurs égaux tranche en faveur de la trisection.

Dinostrate et Hippias. La source rattache Dinostrate à l'usage de la courbe pour la quadrature, et le nom de trisectrice d'Hippias à son usage pour la trisection. Le problème traité permet de distinguer ces deux repères historiques.

Égalité numérique, construction impossible. Calculer le côté √π d'un carré d'aire π ne montre pas que cette longueur peut être construite exactement à la règle et au compas. Il faut distinguer le résultat algébrique de la procédure géométrique autorisée.

Dessin approché, résultat exact. Avec un côté arrondi à 1,772 unité, l'aire du carré vaut environ 3,140 unités carrées, et non exactement π. Pour contrôler l'égalité théorique, il faut conserver √π plutôt que sa valeur décimale arrondie.

Courbe supplémentaire. Employer la quadratrice ajoute un objet qui n'est pas produit par les seuls gestes classiques de la règle et du compas. La courbe peut donc éclairer le problème sans lever l'impossibilité de la construction classique exacte.

Chronologie des preuves. Les mathématiciens grecs ont posé et étudié ces problèmes, mais leur impossibilité générale ne fut démontrée rigoureusement qu'au XIXe siècle. Une méthode antique et une preuve moderne d'impossibilité ne doivent pas être placées au même moment.

La fiche quadratrice présente la courbe qui relie le nom de Dinostrate aux problèmes géométriques grecs.

La trisection d'un angle précise l'autre problème classique auquel la trisectrice d'Hippias est associée.

La notice Hippias d'Elis donne le repère historique porté par l'autre nom de la courbe.

La fiche Platon situe le maître auquel la source rattache Dinostrate.