Hippias d'Elis

Vers 460–400 av. J.-C., en Grèce, Hippias d'Elis s'intéresse aussi bien aux discours et à la politique qu'aux arts et aux sciences. En géométrie, il cherche notamment à partager n'importe quel angle en trois parts égales.

La règle et le compas ne suffisent pas pour résoudre ce problème dans tous les cas. Son nom reste lié à une autre voie : la quadratrice, une courbe qui aide à approcher cette trisection et qui servira ensuite à la quadrature du cercle.

Hippias d'Elis est un philosophe et mathématicien grec ayant vécu approximativement de 460 à 400 av. J.-C. Figure de la sophistique, il fut aussi politicien et polymathe. Ses intérêts couvraient la poésie, l'histoire, la musique, l'architecture et les sciences. Platon lui reprochait toutefois de n'avoir, dans ces domaines, que des connaissances superficielles : cette appréciation est un jugement rapporté, non une mesure de ses travaux mathématiques.

Son nom est attaché à deux problèmes de la géométrie grecque. La duplication du cube demande de construire un cube dont le volume est le double de celui d'un cube donné. La trisection de l'angle demande de diviser un angle quelconque en trois angles égaux. On sait aujourd'hui que ces deux problèmes ne sont pas résolubles, dans leur généralité, avec la règle et le compas seuls.

Hippias introduisit une courbe nouvelle, la quadratrice. Aussi appelée quadratrice de Dinostrate, elle fournit une voie pour approcher la trisection de l'angle, puis fut employée pour la quadrature du cercle. Elle compte parmi les premières courbes transcendantes connues dans l'histoire des mathématiques.

Prenons comme fil conducteur un angle de 75°. La donnée est l'angle initial de 75° ; le but est d'obtenir trois angles de même mesure. Le dessin associé rend visible ce partage attendu, sans prétendre fournir une construction à la règle et au compas.

1. On divise la mesure totale par trois : 75° ÷ 3 = 25°.
2. On place deux demi-droites intérieures qui délimitent successivement 25°, 25° et 25°.
3. On obtient ainsi les trois parts égales demandées par une trisection.

Le contrôle consiste à recomposer l'angle initial : 3 × 25° = 75°. Ce calcul vérifie le résultat, mais ne donne pas à lui seul une procédure valable pour construire tout angle avec les seuls instruments classiques. La quadratrice est précisément liée à la recherche d'une autre voie.

Dans un texte d'histoire des mathématiques, le nom d'Hippias sert de repère entre un problème classique et une courbe conçue pour l'aborder. Si le passage traite d'un partage en trois, la piste pertinente est la trisection de l'angle ; s'il traite d'un volume doublé, c'est la duplication du cube.

Devant une consigne de construction, il faut d'abord relever les instruments autorisés. La règle et le compas seuls ne résolvent pas ces problèmes dans tous les cas. Si une courbe supplémentaire ou une approximation est admise, la quadratrice devient une piste à examiner.

Pour situer la quadratrice, on peut suivre ses deux usages mentionnés dans la tradition rapportée ici : d'abord l'approche de la trisection, puis la quadrature du cercle. Ce parcours évite de réduire Hippias à un seul problème.

Trisection et bisection d'un angle. La trisection produit trois angles égaux, tandis que la bisection n'en produit que deux. Pour un angle de 75°, le cas tranche immédiatement : une trisection donne trois angles de 25°.

Quadratrice et quadrature du cercle. La quadratrice est une courbe ; la quadrature du cercle est un problème de construction. La première a été employée, par la suite, pour aborder le second.

Duplication du cube et trisection de l'angle. Le premier problème porte sur le volume d'un cube, le second sur le partage d'un angle. Une consigne qui demande un volume double ne demande donc pas de diviser un angle.

« Impossible » dépend des instruments. L'impossibilité mentionnée concerne la règle et le compas seuls et les problèmes pris dans leur généralité. Le bon réflexe est donc de vérifier à la fois le cas proposé et les moyens autorisés.

Calculer une mesure n'est pas construire. Dans l'exemple, 75° ÷ 3 = 25° donne la mesure cherchée. Cela ne prouve pas que les deux demi-droites correspondantes sont constructibles avec les seuls instruments classiques.

Approximation et exactitude ne se confondent pas. La source attribue à la quadratrice la possibilité d'approcher la trisection. Il ne faut donc pas transformer cette formulation en promesse d'une construction exacte sans préciser un autre cadre.

Une attribution doit rester nuancée. La même courbe est nommée quadratrice de Hippias et quadratrice de Dinostrate. La formulation sûre consiste à conserver ces deux appellations et à distinguer son introduction de son emploi ultérieur pour la quadrature du cercle.

La fiche quadratrice approfondit la courbe qui relie le nom d'Hippias aux problèmes de construction grecs.

La trisection d'un angle permet d'isoler le problème du partage d'un angle quelconque en trois parts égales.

La duplication du cube présente l'autre grand problème auquel le nom d'Hippias est attaché.

La quadrature du cercle prolonge l'histoire de la quadratrice par un usage apparu après sa recherche sur la trisection.