AnalyseNotion · Glossaire
Tendre vers
En analyse, on dit qu'une suite ou une fonction tend vers une limite L lorsque ses valeurs peuvent être rendues arbitrairement proches de L en prenant les indices ou les arguments suffisamment grands ou proches d'un point donné. Formellement, cela signifie que pour tout réel strictement positif epsilon, il existe un seuil au-delà duquel la distance entre les valeurs et L est inférieure à epsilon. Cette notion formalise rigoureusement l'intuition de convergence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer l'approche d'une limite de l'égalité avec cette limite.
- Lire les critères formels pour une suite et pour une fonction.
- Déterminer un seuil pour la suite 1 + 1/n avec une précision donnée.
- Repérer les oscillations et les limites latérales qui empêchent une conclusion trop rapide.
En clair
Prenons la suite de nombres 2 ; 1,5 ; 1,333… ; 1,25 ; 1,2… Chaque terme s'obtient en ajoutant à 1 une quantité de plus en plus petite. Les valeurs restent au-dessus de 1, mais elles peuvent s'en approcher autant qu'on le souhaite.
Dire que cette suite tend vers 1 ne signifie donc pas qu'un terme doit finir par valoir 1. Cela signifie qu'une marge, même minuscule, finit toujours par contenir tous les termes suivants autour de 1.
Définition
Une suite tend vers un nombre réel L lorsque tous ses termes finissent par rester à une distance de L plus petite que n'importe quelle précision positive imposée. Si n désigne le rang et an le terme de rang n, cette propriété s'écrit : . Le nombre ε représente la précision demandée ; le seuil N peut dépendre de cette précision.
Pour une fonction f de domaine D qui tend vers L lorsque sa variable x approche un point a, ce point doit être approchable par des éléments de D autres que a. Le seuil devient une distance positive δ autour de a. On exige que f(x) soit à moins de ε de L pour tout x de D assez proche de a, sans imposer x = a : .
Pour une limite lorsque x devient arbitrairement grand, on remplace la proximité de a par un seuil réel A : au-delà de A, toutes les valeurs de x appartenant à D doivent donner le même contrôle de l'écart. Dans ces cadres, la limite, lorsqu'elle existe, est unique. La convergence ne fixe toutefois ni la vitesse d'approche ni le côté par lequel les valeurs arrivent : elles peuvent alterner autour de L.
Un exemple, pas à pas
Considérons la suite dont le terme de rang n est an = 1 + 1/n. Les données sont : une limite candidate égale à 1, une précision ε = 0,1 et des rangs n entiers strictement positifs.
1. La distance entre le terme an et 1 vaut .
2. Pour rendre cette distance strictement inférieure à 0,1, il faut , donc n > 10.
3. On choisit le seuil N = 11. Pour tout rang n ≥ 11, le terme est compris strictement entre 0,9 et 1,1. Comme an reste supérieur à 1, il appartient en fait à l'intervalle ]1 ; 1,1[.
Le contrôle se refait au premier rang admis : a11 = 1 + 1/11 ≈ 1,0909, donc sa distance à 1 vaut 1/11 ≈ 0,0909, bien inférieure à 0,1. Le même raisonnement fonctionne pour toute précision positive en choisissant un entier N strictement supérieur à 1/ε.
En pratique
Pour étudier une suite comme an = 1 + 1/n, on cherche d'abord une limite candidate, puis on vérifie que l'écart devient inférieur à toute précision fixée. Quelques valeurs numériques suggèrent le résultat, mais elles ne remplacent pas cette vérification.
Pour lire un graphe de fonction, on observe les valeurs prises quand la variable se rapproche du point étudié. Si les comportements à gauche et à droite ne conduisent pas au même nombre, il faut examiner les deux limites séparément plutôt que conclure à une limite commune.
Dans un calcul approché, la limite indique la valeur visée tandis qu'un seuil donne le rang nécessaire pour respecter une tolérance. Lorsque le nombre d'étapes disponible est fixé, on évalue plutôt l'erreur effectivement obtenue à ce rang.
À ne pas confondre
Tendre vers une valeur et atteindre cette valeur. La suite an = 1 + 1/n tend vers 1 sans qu'aucun de ses termes vaille 1. Le critère porte sur une proximité durable après un seuil, non sur une égalité.
Convergence et monotonie. Une suite monotone évolue toujours dans le même sens, tandis qu'une suite convergente peut osciller autour de sa limite. Le signe des écarts successifs teste la monotonie ; leur petitesse durable autour de L teste la convergence.
Limite d'une fonction et valeur au point. La limite de f quand x approche a dépend des valeurs voisines de a. La valeur f(a), si elle existe, peut être différente ; c'est l'égalité entre les deux qui intervient dans la continuité en a.
Limites et pièges
Une longue stabilisation visuelle ne suffit pas. Observer beaucoup de termes proches d'un nombre ne prouve pas que tous les termes ultérieurs y resteront. Il faut établir un seuil valable pour chaque précision, sans se limiter aux valeurs calculées.
Le seuil dépend de la précision. Pour an = 1 + 1/n, ε = 0,1 autorise N = 11, mais ε = 0,01 exige par exemple N = 101. Réutiliser le premier seuil donnerait une conclusion fausse.
Osciller peut empêcher toute limite. La suite de terme (−1)n alterne entre −1 et 1. Aucun intervalle de rayon inférieur à 1 autour d'un nombre réel ne contient tous ses termes après un seuil ; il ne faut donc pas choisir une moyenne visuelle.
Le sens d'approche peut compter. Pour une fonction, les valeurs obtenues quand x approche a par valeurs inférieures et par valeurs supérieures peuvent différer. Dans ce cas, on indique séparément les limites à gauche et à droite au lieu d'affirmer une limite en a.
Pour aller plus loin
De la suite dans les idées prolonge l'étude des suites et aide à replacer la convergence dans ce cadre.
continuité uniforme montre comment une même exigence de proximité peut devoir fonctionner uniformément sur tout un ensemble.
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