Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Fermé relatif
Un ensemble F est fermé relativement à un sous-espace Y d'un espace topologique X si F est un fermé de Y pour la topologie induite, c'est-à-dire si F = Y ∩ G pour un certain fermé G de X. La topologie induite sur Y est la topologie dont les ouverts sont les intersections des ouverts de X avec Y. Un ensemble peut être fermé relativement à Y sans être fermé dans X. Cette notion est fondamentale dans l'étude des sous-espaces topologiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un fermé relatif par l’intersection avec un fermé ambiant.
- Distinguer la fermeture dans un sous-espace de la fermeture dans l’espace entier.
- Vérifier le critère sur l’exemple de (0, 1/2] inclus dans (0, 1].
En clair
Imaginez que l’on observe seulement la portion de droite allant juste après 0 jusqu’à 1 inclus. Dans ce petit univers, l’intervalle allant juste après 0 jusqu’à 1/2 inclus n’a aucun bord manquant qui appartienne à l’univers observé.
Il est donc fermé relativement à cette portion, même si 0 lui manque sur la droite entière. Le mot relatif rappelle que le verdict dépend du sous-espace dans lequel on se place, et pas seulement de l’ensemble examiné.
Définition
Soit un espace topologique noté X et un sous-espace de X noté Y. La topologie induite sur Y conserve comme ouverts les intersections de Y avec les ouverts de X. Un sous-ensemble de Y, noté F, est fermé relativement à Y lorsqu’il est fermé pour cette topologie induite.
Le critère se formule à l’aide d’un fermé de l’espace ambiant X, noté G : . Il suffit qu’un tel ensemble G existe ; il n’est pas nécessairement unique. De manière équivalente, le complémentaire de F dans Y doit être ouvert relativement à Y.
Cette propriété dépend du sous-espace choisi. Être fermé relativement à Y n’entraîne donc pas, en général, qu’on soit fermé dans X. En revanche, tout fermé de X contenu dans Y est fermé relativement à Y, puisqu’il s’écrit comme son intersection avec Y.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans la droite réelle X. Le sous-espace Y est l’intervalle (0, 1], et l’ensemble étudié F est l’intervalle (0, 1/2]. On choisit enfin dans X le fermé G = (−∞, 1/2].
1. On intersecte Y avec G. Les nombres conservés sont ceux qui sont strictement positifs et inférieurs ou égaux à 1/2.
2. Le résultat est exactement . Le critère est satisfait : F est fermé relativement à Y.
3. Sur la droite réelle entière, 0 est un point d’adhérence de F mais n’appartient pas à F. L’ensemble F n’est donc pas fermé dans X.
Le contrôle peut être refait par le complémentaire : dans Y, le complémentaire de F vaut (1/2, 1], qui est l’intersection de Y avec l’ouvert (1/2, +∞) de X. Il est donc ouvert relativement à Y.
En pratique
Lorsqu’un problème est limité à un intervalle, une courbe ou une surface Y, on vérifie la fermeture dans ce domaine. Chercher un fermé ambiant G tel que F soit l’intersection de Y et G évite d’exiger à tort que F soit fermé dans tout l’espace.
Si l’ensemble ambiant G est difficile à repérer, on examine plutôt ce qui reste de Y après avoir retiré F. Lorsque ce complémentaire s’écrit comme l’intersection de Y avec un ouvert ambiant, F est fermé relativement à Y.
Avant d’appliquer un résultat qui exige un fermé de X, on relit précisément l’hypothèse. La fermeture relative suffit pour un raisonnement mené dans Y, mais elle ne remplace pas automatiquement la fermeture dans l’espace ambiant.
À ne pas confondre
Fermé dans l’espace ambiant. Un fermé de X contient tous ses points d’adhérence pris dans X. Un fermé relatif ne doit les contenir que lorsqu’ils appartiennent au sous-espace Y. Ainsi, (0, 1/2] est fermé dans Y = (0, 1], mais pas dans X = ℝ, car 0 manque.
Ouvert relatif. Un sous-ensemble U de Y est ouvert relativement à Y lorsqu’il s’écrit comme l’intersection de Y avec un ouvert de X. Fermé relatif et ouvert relatif ne sont pas des contraires exclusifs : Y lui-même possède les deux propriétés dans Y.
Limites et pièges
Oublier l’espace de référence. Écrire seulement « F est fermé » masque une donnée essentielle. Dans l’exemple, F = (0, 1/2] est fermé relativement à Y = (0, 1], mais il ne l’est pas dans ℝ. Il faut toujours nommer le sous-espace.
Chercher un unique fermé ambiant. Le fermé G qui réalise l’intersection n’est pas unique. Pour l’exemple, (−∞, 1/2] et [0, 1/2] conviennent tous deux. Une seule construction correcte suffit à établir la fermeture relative.
Tester seulement des suites dans un espace topologique quelconque. Hors des espaces métriques et d’autres cadres adaptés, les suites ne détectent pas toujours tous les défauts de fermeture. Le critère par intersection avec un fermé ambiant, ou celui du complémentaire relativement ouvert, reste valable en toute généralité.
Pour aller plus loin
La fiche Ouvert relatif présente la notion complémentaire et le même rôle de la topologie induite dans un sous-espace.
La fiche adhérence - topologie - précise pourquoi un point extérieur au sous-espace ne suffit pas à empêcher une fermeture relative.
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