fonction fuchsienne

Imaginez un motif dessiné dans une case du plan hyperbolique. Des transformations déplacent cette case et pavent le plan, mais la fonction attribue la même valeur aux points ainsi associés. Elle change donc de point de vue sans changer de valeur.

Une fonction fuchsienne organise précisément cette répétition. Les déplacements autorisés sont des transformations de Möbius réunies dans un groupe discret. La périodicité ordinaire, où l'on répète un motif par translations, en fournit l'intuition la plus simple.

Le demi-plan supérieur, noté ℍ, est l'ensemble des nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement positive. Un groupe fuchsien Γ est un sous-groupe discret de PSL(2, ℝ). Chacun de ses éléments agit sur ℍ par une transformation de Möbius réelle. Si les nombres réels a, b, c et d représentent cet élément avec ad − bc = 1, l'action envoie le nombre complexe z sur :

Une fonction f est fuchsienne relativement à Γ lorsqu'elle est méromorphe sur ℍ et reste constante le long de chaque orbite du groupe. Autrement dit, pour tout élément γ de Γ et tout point z où les valeurs sont définies, $f(\gamma (z))=f(z)f(\backslash gamma(z))=f(z)$. Le choix de Γ fait donc partie de la définition : une même fonction peut être invariante pour un groupe et ne pas l'être pour un autre.

La discrétion du groupe permet d'isoler un domaine fondamental, généralement représenté par un polygone à côtés circulaires. Ses images pavent le plan hyperbolique. Connaître f sur ce domaine détermine alors ses valeurs sur toutes ses images. La périodicité classique est le cas conducteur où le groupe est formé de translations entières.

Cinq éléments travaillent ensemble. Le support est le demi-plan supérieur ℍ. Le groupe Γ sélectionne une famille discrète de transformations. L'action précise comment chaque transformation de Möbius déplace un point z. La fonction f, méromorphe sur ℍ, attribue une valeur à ce point. Le domaine fondamental choisit un représentant géométrique des répétitions créées par Γ.

Le groupe détermine à la fois les orbites de points et les copies du domaine fondamental. L'invariance relie ensuite la fonction à ces orbites : deux points obtenus l'un de l'autre par un élément de Γ reçoivent la même valeur. Le tracé, la couleur ou l'échelle d'un pavage n'entrent pas dans la définition. Ce sont le support, le groupe, son action et l'égalité d'invariance qui définissent la structure.

Prenons la transformation T qui envoie z sur z + 1. Ses puissances forment le groupe discret des translations entières. La bande comprise entre les droites de parties réelles 0 et 1 sert de domaine fondamental ; ses copies juxtaposées rendent la répétition visible.

Données.
Groupe : Γ = {T_n : z ↦ z + n, avec n entier}.
Fonction : f(z) = exp(2πiz).
Point de contrôle : z₀ = 1/4 + i.

Étape 1. Pour un entier n, appliquons la translation T_n au point z.

Étape 2. Pour n = 1, les points z₀ = 1/4 + i et z₀ + 1 = 5/4 + i appartiennent à deux bandes voisines. Ils sont dans la même orbite et donnent exactement la même valeur, i·e^−2π.

Contrôle. La translation inverse soustrait 1 et ramène 5/4 + i sur 1/4 + i. La fonction reprend donc la même valeur dans les deux sens, comme l'exige l'action du groupe.

Pour étudier une fonction invariante, on peut travailler sur tout le demi-plan ou se limiter à un domaine fondamental. La seconde approche est préférable lorsque les transformations du groupe permettent de ramener chaque point dans ce domaine : elle évite de répéter le même calcul sur toutes ses copies.

Pour lire un pavage hyperbolique, on repère d'abord une tuile fondamentale, puis les transformations qui produisent ses voisines. La fonction doit garder la même valeur sur les points correspondants. Les gravures d'Escher donnent une image célèbre de cette répétition, mais le critère reste l'invariance, non l'apparence du dessin.

Dans le contexte historique des équations différentielles du second ordre, les fonctions particulières utilisées par Fuchs ont précédé la théorie générale. Poincaré a ensuite organisé, entre 1881 et 1882, l'étude des groupes fuchsiens et des fonctions qui leur sont associées.

Fonction fuchsienne et groupe fuchsien. Le groupe est une collection discrète de transformations de Möbius ; la fonction est un objet méromorphe qui reste invariant sous ces transformations. Dans l'exemple conducteur, les translations T_n appartiennent au groupe, tandis que exp(2πiz) est la fonction.

Invariance fuchsienne et périodicité ordinaire. Une fonction périodique répète ses valeurs après une translation fixée. Une fonction fuchsienne peut devoir rester inchangée sous des transformations de Möbius plus générales. Le test décisif consiste à identifier les transformations du groupe, pas seulement à chercher une période additive.

Méromorphe et holomorphe. Une fonction holomorphe ne possède pas de pôle dans son domaine, tandis qu'une fonction méromorphe peut en avoir. La définition fuchsienne exige la méromorphie et l'invariance ; l'absence de pôles est une propriété supplémentaire, vérifiable séparément.

Le groupe doit être précisé. Vérifier une seule transformation ne suffit que si l'on sait qu'elle engendre tout le groupe et que l'invariance se transmet à ses puissances. Sinon, une autre transformation de Γ peut changer la valeur de f.

La discrétion n'est pas décorative. Une famille quelconque de transformations de PSL(2, ℝ) n'est pas automatiquement un groupe fuchsien. Il faut contrôler qu'il s'agit bien d'un sous-groupe discret avant de parler de domaine fondamental et de pavage associés.

Les pôles ne sont pas exclus. L'égalité d'invariance doit être lue comme une identité de fonctions méromorphes. Près d'un pôle, on ne remplace pas cette identité par une égalité de valeurs complexes finies ; on suit aussi les pôles par l'action du groupe.

Le domaine fondamental a des bords identifiés. Dans l'exemple des translations entières, prendre simultanément les deux droites Re(z) = 0 et Re(z) = 1 compterait deux représentants liés par T. Une convention comme 0 ≤ Re(z) < 1 évite ce double comptage.

Le prolongement naturel consiste à partir d'un domaine fondamental plus élaboré que la bande des translations. Ses côtés circulaires sont appariés par des transformations de Möbius, et ses images composent un pavage du plan hyperbolique. L'invariance permet alors de transporter les valeurs d'une fonction d'une tuile à toutes les autres.

L'histoire ouvre une seconde piste : suivre le passage des fonctions particulières employées par Fuchs pour des équations différentielles du second ordre à la théorie générale élaborée par Poincaré en 1881 et 1882. Ce passage relie équations, transformations et géométrie hyperbolique.