GéométrieUnité de mesure · Glossaire
Partition de l'unité
Une partition de l'unité subordonnée à un recouvrement ouvert d'un espace topologique est une famille de fonctions continues, à valeurs dans [0,1], telles que le support de chaque fonction est contenu dans un ouvert du recouvrement, la famille est localement finie et la somme des fonctions est identiquement égale à un. Les partitions de l'unité existent sur tout espace paracompact de Hausdorff et sont un outil fondamental pour raccorder des constructions locales en des objets globaux en géométrie différentielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les fonctions comme des poids locaux dont la somme vaut exactement 1.
- Vérifier la continuité, les supports subordonnés et la finitude locale.
- Refaire une partition à deux fonctions sur la droite réelle.
- Relier la paracompacité à l'existence des partitions de l'unité.
- Distinguer partition de l'unité, partition d'un ensemble et fonctions indicatrices.
En clair
Sur une droite, imaginons deux zones qui se chevauchent. Dans la première, une fonction vaut d'abord 1 puis décroît jusqu'à 0 ; dans la seconde, une autre fait exactement le chemin inverse. À chaque point, leurs valeurs s'additionnent pour donner 1.
Ces valeurs jouent le rôle de poids. Loin du chevauchement, une seule construction locale compte ; dans la zone commune, les deux sont mélangées progressivement. Une partition de l'unité organise ce partage sans rupture et permet ainsi de recoller des informations définies séparément.
Définition
Soit X un espace topologique recouvert par des ouverts Ui, où l'indice i parcourt un ensemble I. Une partition de l'unité subordonnée à ce recouvrement est une famille de fonctions continues φi de X dans [0,1]. Le support de φi, c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble des points où elle ne s'annule pas, doit être contenu dans l'ouvert Ui correspondant.
La famille doit être localement finie : chaque point de X possède un voisinage qui ne rencontre les supports que d'un nombre fini de fonctions. Enfin, les poids valent ensemble exactement 1 en tout point : . Cette finitude locale rend la somme bien définie et continue, même si I est infini.
Tout espace paracompact de Hausdorff admet de telles partitions pour ses recouvrements ouverts. Sur une variété différentiable, on choisit en outre des fonctions de classe C∞ : la partition devient l'outil de raccord qui transforme des données locales compatibles en une construction globale.
Où on le rencontre
On rencontre une partition de l'unité lorsqu'un espace est décrit par plusieurs zones ouvertes qui se chevauchent : cartes d'une variété, voisinages d'un espace topologique ou domaines où des formules locales sont valables. Les marqueurs à repérer sont un recouvrement ouvert, une fonction attachée à chaque zone, des valeurs comprises entre 0 et 1, et une somme annoncée égale à 1.
Le support indique où chaque poids peut intervenir. La finitude locale garantit qu'autour d'un point donné, seules quelques fonctions comptent réellement. L'ensemble porte donc une information de raccord : quelle part de chaque donnée locale doit être conservée à chaque point.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est le poids φi(x) attribué à chaque zone au point x. La convention essentielle est que le total des poids vaut 1, et non que chaque fonction vaut 1.
1. Pour un point x, repérez les ouverts Ui qui le contiennent. Une fonction dont le support est éloigné de x vaut nécessairement 0 en ce point.
2. Relevez les seules valeurs non nulles φi(x). La finitude locale assure qu'elles sont en nombre fini dans un voisinage de x.
3. Additionnez ces valeurs et vérifiez que le résultat est exactement 1. Contrôlez séparément que le support de chaque fonction reste dans l'ouvert annoncé.
Un dessin peut donner l'impression que deux courbes positives produisent un total supérieur à 1 dans leur chevauchement. Le bon réflexe consiste à comparer leurs hauteurs à une même abscisse : dans l'exemple conducteur, l'une baisse précisément autant que l'autre monte.
Un exemple, pas à pas
Sur la droite réelle, prenons les ouverts U1 = ]−∞ ; 1[ et U2 = ]−1 ; +∞[. Ils recouvrent toute la droite. On cherche deux poids continus qui se partagent l'unité dans la zone de chevauchement.
Données. La première fonction, notée φ1, vaut 1 jusqu'à x = −1/2, puis décroît linéairement jusqu'à 0 entre −1/2 et 1/2. Elle reste nulle ensuite. La seconde est définie par φ2(x) = 1 − φ1(x).
1. Sur l'intervalle [−1/2 ; 1/2], la formule linéaire est φ1(x) = 1/2 − x. Ainsi, φ1(0) = 1/2 et φ2(0) = 1/2.
2. À x = 1/4, on obtient φ1(1/4) = 1/4, puis φ2(1/4) = 3/4. Le contrôle donne 1/4 + 3/4 = 1.
3. Le support de φ1 est ]−∞ ; 1/2], contenu dans U1. Celui de φ2 est [−1/2 ; +∞[, contenu dans U2.
4. La famille ne contient que deux fonctions, donc elle est localement finie. Comme φ2 = 1 − φ1, leur somme vaut 1 sur toute la droite : les quatre conditions sont vérifiées.
En pratique
Sur une variété différentiable, des formules sont souvent disponibles carte par carte. Une partition lisse pondère ces formules avant de les additionner. Si une formule globale existe déjà, ce raccord n'est pas nécessaire ; on le préfère lorsque les expressions ne sont connues que localement.
Pour construire une intégrale globale, on peut intégrer séparément dans chaque carte après pondération. Une unique carte suffit sur un domaine qu'elle couvre entièrement ; plusieurs poids deviennent utiles dès qu'aucune carte ne couvre seule l'objet.
Dans une démonstration locale-vers-globale, on multiplie chaque objet local par la fonction qui lui est associée, puis on somme. Ce geste convient aux objets que l'on peut additionner après pondération ; pour des données non linéaires, un autre procédé de recollement peut être requis.
À ne pas confondre
Partition d'un ensemble. Elle découpe l'ensemble en sous-ensembles deux à deux disjoints dont l'union redonne l'ensemble. Une partition de l'unité utilise au contraire des fonctions dont les supports peuvent se chevaucher ; dans l'exemple, les deux poids sont positifs entre −1/2 et 1/2.
Fonctions indicatrices d'un découpage. Une indicatrice ne prend que les valeurs 0 et 1 et saute généralement au bord d'une partie. Ici, les poids peuvent prendre toutes les valeurs de [0,1] afin de rester continus ; au point 0, ils valent tous deux 1/2.
Combinaison convexe fixe. Ses coefficients sont des nombres constants de somme 1. Dans une partition de l'unité, les coefficients sont des fonctions du point x : le partage 1/4 et 3/4 observé en x = 1/4 change lorsqu'on se déplace.
Limites et pièges
Le support dépasse l'ouvert. Dire qu'une fonction s'annule hors de Ui ne suffit pas toujours : l'adhérence de sa zone non nulle peut encore toucher un point extérieur. Il faut contrôler le support fermé lui-même, comme les bornes −1/2 et 1/2 dans l'exemple.
Une somme infinie sans finitude locale. Si tout voisinage rencontre une infinité de supports, la somme point par point peut exister sans que sa continuité découle du même argument. Il faut établir une convergence adaptée, ou choisir une famille localement finie.
L'existence n'est pas automatique sur tout espace. La paracompacité est l'hypothèse donnée ici pour obtenir une partition subordonnée à chaque recouvrement ouvert. Sans elle, il ne faut pas invoquer cet outil sans vérifier un résultat d'existence spécifique.
Continuité et régularité lisse. Une partition continue répond au problème topologique, mais elle n'est pas pour autant de classe C∞. En géométrie différentielle, il faut construire une partition lisse lorsque les opérations ultérieures exigent des dérivées.
Pour aller plus loin
Paracompact — Relier l'hypothèse d'existence des partitions de l'unité au raffinement localement fini des recouvrements ouverts.
Recouvrement — Revoir la famille d'ouverts à laquelle une partition de l'unité doit être subordonnée.
compacité - topologie - — Situer la compacité parmi les propriétés qui permettent de contrôler des recouvrements par des ouverts.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres