apotome

Imaginez une diagonale de carré de longueur √2, découpée en une partie de longueur 1 et un reste. Le carré de la diagonale vaut 2, tandis que le carré de la partie vaut 1 : ces deux carrés sont dans un rapport entier. Le reste, de longueur √2 − 1, n'a pas cette propriété avec la diagonale.

Ce reste est un exemple d'apotome. Le mot désigne donc une partie d'un segment qui devient incommensurable en puissance avec le segment entier, alors que l'autre partie lui reste commensurable en puissance. La notion vient de la classification des irrationnelles chez Euclide.

Une apotome est une grandeur obtenue lorsqu'un segment est divisé en deux parties et qu'une seule de ces parties est commensurable en puissance avec le segment entier. Deux longueurs sont commensurables si une même unité les mesure exactement ; elles sont commensurables en puissance lorsque leurs carrés sont commensurables. L'autre partie, dont le carré n'est pas commensurable avec le carré du segment total, est appelée apotome.

Dans l'exemple de la diagonale d'un carré unité, la longueur totale est √2. La partie de longueur 1 est commensurable en puissance avec cette diagonale, car leurs carrés sont 1 et 2. La partie complémentaire, de longueur √2 − 1, est l'apotome : le rapport de son carré au carré de la diagonale est irrationnel. Cette distinction appartient à la classification euclidienne des grandeurs irrationnelles du Livre X des Éléments.

L'apotome n'est donc pas simplement une longueur irrationnelle. Sa définition dépend d'une division précise et d'une comparaison en puissance avec le segment entier. Elle intervient notamment dans l'anthyphérèse, méthode de soustractions répétées utilisée pour étudier les rapports de grandeurs.

On prend un carré de côté 1. Sa diagonale, qui est le segment total, mesure √2. On la divise en une partie de longueur 1 et une partie complémentaire de longueur √2 − 1.

Étape 1. Le carré de la longueur totale vaut $(\sqrt{2}{)}^2=2(\backslash sqrt\{2\})^2=2$. Le carré de la première partie vaut $1^2=11^2=1$. Ces deux carrés sont commensurables, puisque leur rapport est 1:2.

Étape 2. Pour le reste, le carré vaut $(\sqrt{2}-1{)}^2=3-2\sqrt{2}(\backslash sqrt\{2\}-1)^2=3-2\backslash sqrt\{2\}$. Comparé au carré du segment total, son rapport est $\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\backslash frac\{3-2\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}$. Ce rapport est irrationnel, donc les deux carrés ne sont pas commensurables.

Étape 3. Une seule partie est donc commensurable en puissance avec la diagonale : celle de longueur 1. La partie complémentaire, de longueur √2 − 1, satisfait la définition de l'apotome.

Le calcul montre pourquoi la comparaison porte sur les carrés et non sur les longueurs seules. Il ne s'agit pas d'appeler apotome toute différence contenant une racine, mais d'identifier la partie qui échoue précisément au critère de commensurabilité en puissance.

Pour reconnaître une apotome dans une construction, commencez par repérer le segment total et ses deux parties. La longueur d'une partie ne suffit pas à conclure : il faut comparer son carré au carré du segment total.

Dans le cas de la diagonale de longueur √2, la partie de longueur 1 est commensurable en puissance avec le total, car 1 et 2 sont des nombres commensurables. Le complément √2 − 1 est alors la partie apotome.

Cette vérification est utile dans les textes sur les irrationnelles euclidiennes et l'anthyphérèse. Elle impose de conserver la division du segment : sans le segment de référence, le mot « apotome » perd le critère qui le définit.

Apotome et grandeur irrationnelle. Une grandeur irrationnelle ne se mesure pas par une unité commune avec la grandeur de référence. Une apotome est une catégorie plus précise : elle est une partie issue d'une division et se caractérise par son défaut de commensurabilité en puissance avec le segment total.

Apotome et différence quelconque. Le reste √2 − 1 de l'exemple est une apotome parce que la première partie, de longueur 1, est commensurable en puissance avec √2. Une différence choisie sans cette propriété ne reçoit pas automatiquement ce nom.

Commensurable et commensurable en puissance. Deux longueurs peuvent être incommensurables tout en étant commensurables en puissance. Le côté 1 et la diagonale √2 du carré unité en donnent l'exemple : leurs longueurs ne sont pas dans un rapport rationnel, mais leurs carrés 1 et 2 le sont.

Le critère est relatif au segment total. Une même longueur peut donc jouer le rôle d'une partie dans une division et ne pas être une apotome dans une autre. Sans préciser le total et la seconde partie, l'identification reste incomplète.

Il faut aussi distinguer une longueur irrationnelle d'une longueur incommensurable en puissance. Dans l'exemple conducteur, √2 est irrationnelle, mais la longueur 1 est commensurable en puissance avec elle, car les carrés 1 et 2 ont un rapport rationnel. L'irrationalité d'une longueur ne suffit donc pas à repérer l'apotome.

La définition porte sur une division en deux parties dont une seule possède la commensurabilité en puissance avec l'ensemble. Une division où les deux parties ont cette propriété, ou n'en ont aucune, ne vérifie pas la définition donnée ici.

Enfin, le terme appartient au vocabulaire du Livre X des Éléments et à une classification historique des irrationnelles. Il ne faut pas lui attribuer sans précaution le sens moderne d'une simple soustraction, ni supposer que toutes les conventions terminologiques postérieures coïncident avec celle d'Euclide.

L'apotome prend place dans la classification des grandeurs irrationnelles du Livre X des Éléments. Pour prolonger cette lecture, on peut étudier comment l'anthyphérèse compare deux grandeurs par soustractions répétées et comment l'absence de mesure commune se manifeste dans un rapport. Le glossaire Commensurable fournit le vocabulaire préalable pour distinguer mesure commune et commensurabilité en puissance.