Théon de Smyrne

Au 2e siècle après J.-C., le mathématicien grec Théon de Smyrne rassemble des connaissances jugées utiles pour lire Platon. Son traité relie les nombres à la musique dans une perspective pythagoricienne et examine des nombres que l'on peut disposer en figures.

Théon décrit aussi deux listes d'entiers, nommées « côtés » et « diagonales ». En les faisant progresser ensemble, leur rapport donne des approximations de plus en plus proches d'une grandeur irrationnelle. Les fragments conservés abordent enfin l'astronomie, la Terre sphérique, l'horizon et les éclipses.

Théon de Smyrne est un mathématicien grec du 2e siècle après J.-C. Il est l'auteur de l'Exposition des connaissances mathématiques utiles à la lecture de Platon, un traité grec aujourd'hui partiellement conservé. L'ouvrage présente les nombres et la musique comme des domaines étroitement liés dans la tradition pythagoricienne. Il comprend notamment des développements sur les nombres figurés.

Un autre développement concerne l'approximation de √2. En notation moderne, le nombre latéral de rang n est noté x_n et le nombre diagonal de même rang y_n. Les deux suites commencent à 1 ; chaque nouveau côté est la somme de l'ancien côté et de l'ancienne diagonale, tandis que chaque nouvelle diagonale ajoute deux fois l'ancien côté à l'ancienne diagonale.Le rapport y_n/x_n se rapproche alors de √2 : les entiers restent exacts, mais leur quotient est une approximation rationnelle de cette valeur irrationnelle.

Les parties conservées touchent aussi à l'astronomie. Elles traitent notamment de la sphéricité de la Terre et de la disparition progressive des objets à l'horizon, avec une interprétation faisant intervenir les éclipses. L'ensemble n'est donc ni une biographie moderne ni un traité limité à un algorithme : c'est une exposition mathématique orientée vers la lecture de Platon, dont seule une partie nous est parvenue.

On part d'un côté x₀ = 1 et d'une diagonale y₀ = 1. À chaque tour, le nouveau côté est la somme des deux anciens nombres ; la nouvelle diagonale vaut deux fois l'ancien côté, plus l'ancienne diagonale. La valeur de comparaison est √2 ≈ 1,4142.

1. Le premier tour donne x₁ = 1 + 1 = 2 et y₁ = 2 × 1 + 1 = 3, donc y₁/x₁ = 3/2 = 1,5.
2. Le deuxième donne (x₂ ; y₂) = (5 ; 7), puis 7/5 = 1,4.
3. Le troisième donne (x₃ ; y₃) = (12 ; 17), puis 17/12 ≈ 1,4167.
4. Le quatrième donne (x₄ ; y₄) = (29 ; 41), puis 41/29 ≈ 1,4138.

Le dernier quotient est proche de 1,4142 sans lui être égal. Un contrôle entier refaisable mesure l'écart entre le carré de la diagonale proposée et deux fois le carré du côté :La différence de −1 confirme que 41 est une approximation de la diagonale d'un carré de côté 29, et non sa longueur exacte.

Pour situer Théon dans l'histoire des mathématiques, on part de la trace conservée : un auteur grec du 2e siècle après J.-C. et un traité destiné à accompagner la lecture de Platon. Une biographie moderne serait préférable pour raconter une vie ; ici, le critère observable est le contenu du traité.

Pour refaire l'approximation, on inscrit un couple d'entiers, puis on applique simultanément les deux règles de récurrence. Une calculatrice donne directement √2 ; les suites de Théon sont préférables lorsque l'on veut observer comment des fractions rationnelles s'en approchent.

Pour lire le traité dans son ensemble, on repère trois fils : nombres et musique, nombres figurés, puis astronomie. Une fiche consacrée au seul algorithme convient mieux si la question porte uniquement sur le calcul des couples latéral et diagonal.

Théon de Smyrne et l'algorithme de Théon de Smyrne. Le premier nomme une personne et l'ensemble des thèmes conservés de son traité ; le second nomme une procédure particulière. Une question sur les suites de côtés et de diagonales vise l'algorithme, tandis qu'une question sur le traité vise l'auteur.

Nombres figurés et nombres latéraux ou diagonaux. Les premiers sont présentés par des dispositions géométriques de nombres. Les seconds forment ici deux suites couplées. Le critère qui tranche est l'opération effectuée : disposer un nombre en figure n'est pas calculer le rapport y_n/x_n.

Une exposition utile à Platon et une œuvre de Platon. Le titre du traité annonce un accompagnement mathématique à la lecture de Platon. L'auteur indiqué reste Théon : citer ce texte comme un traité de Platon changerait donc l'attribution.

Un traité partiellement conservé. Les passages disponibles ne permettent pas de traiter leur contenu comme l'inventaire complet des idées de Théon. Le symptôme est une conclusion portant sur « toute son œuvre » ; il faut la restreindre aux parties conservées.

Une approximation n'est pas une égalité. Au rang 0, le quotient vaut 1 ; aux rangs 1 et 2, il vaut 1,5 puis 1,4. Même le quotient 41/29 ≈ 1,4138 reste rationnel et diffère de √2. Il faut conserver le signe ≈ et augmenter le nombre d'itérations si davantage de précision est nécessaire.

Le dessin du carré ne rend pas 41 exact. Pour un côté de longueur 29, la diagonale exacte mesure 29√2, soit environ 41,0122. L'entier 41 n'est qu'une valeur voisine ; le contrôle 41² − 2 × 29² = −1 empêche de confondre proximité et identité.

algorithme de Théon de Smyrne — Suivre la procédure de récurrence consacrée aux nombres latéraux et diagonaux.

Nombres figurés — Approfondir l'autre thème arithmétique explicitement présent dans le traité.

Irrationnels — Préciser la nature des grandeurs que les quotients rationnels de l'algorithme approchent.

Platon — Situer le lecteur auquel l'exposition mathématique de Théon voulait fournir des connaissances utiles.