ArithmétiqueNotion · Glossaire
Incommensurable
Deux grandeurs sont dites incommensurables si leur rapport n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire si elles n'ont pas de mesure commune (aucune unité ne permet de les mesurer toutes deux par un nombre entier). La découverte par les Pythagoriciens que la diagonale et le côté d'un carré sont incommensurables (leur rapport est la racine de 2, irrationnel) fut un choc intellectuel majeur dans l'Antiquité. En termes modernes, des nombres réels sont incommensurables si leur quotient est irrationnel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l'absence de mesure commune à un rapport irrationnel.
- Vérifier sur un carré de côté 1 que sa diagonale mesure √2.
- Distinguer une relation incommensurable d'un nombre irrationnel et d'objets incomparables.
En clair
Prenez un carré dont le côté mesure 1 cm. Sa diagonale mesure √2 cm, soit environ 1,414 cm. On peut choisir une unité plus petite, puis encore plus petite : aucune ne découpe exactement les deux longueurs en nombres entiers de morceaux.
Le côté et la diagonale sont donc incommensurables. Ce mot ne signifie pas qu'ils sont impossibles à mesurer séparément. Il signifie qu'ils ne partagent aucune mesure commune exacte.
Définition
Deux grandeurs de même nature, de valeurs positives notées a et b, sont commensurables s'il existe une mesure commune positive u et deux nombres entiers positifs m et n tels que a soit égale à m fois u et b à n fois u. Leur rapport est alors le nombre rationnel m/n. Si aucune telle mesure u n'existe, les deux grandeurs sont incommensurables.
Le critère équivalent porte sur le rapport : pour deux valeurs réelles strictement positives a et b, elles sont incommensurables exactement lorsque . Le carré classique donne a = √2 pour la diagonale et b = 1 pour le côté. Le quotient vaut √2, qui est irrationnel. La propriété concerne une paire : un même nombre peut avoir un rapport rationnel avec une valeur et irrationnel avec une autre.
Un exemple, pas à pas
Considérons un carré. Les données sont les suivantes : son côté mesure exactement 1 cm ; sa diagonale est notée d ; les longueurs sont prises dans le modèle géométrique euclidien. La figure matérialise ces deux longueurs et le rapport à examiner.
1. Le théorème de Pythagore donne le carré de la diagonale : d2 = 12 + 12 = 2 cm2. Comme une longueur est positive, d = √2 cm.
2. Supposons que √2 soit rationnel. Il s'écrirait comme le quotient de deux entiers positifs p et q, choisis sans facteur commun.
3. L'égalité √2 = p/q entraîne p2 = 2q2. Le carré de p est pair, donc p est pair. En posant p = 2k, où k est entier, on obtient que q est pair.
4. Les nombres p et q auraient alors le facteur commun 2, contrairement au choix initial. Ainsi √2 est irrationnel.
Le rapport diagonale/côté vaut exactement √2 : ces deux longueurs sont incommensurables. Pour contrôler le calcul numérique, 1,4142 ≈ 1,999396, valeur proche de 2 mais non exacte.
En pratique
En géométrie exacte, on examine le quotient de deux longueurs. Si ce quotient se réduit à une fraction d'entiers, une mesure commune existe ; s'il est irrationnel, on conserve une écriture exacte comme √2 plutôt qu'un nombre décimal tronqué.
Pour construire un carré, la règle et le compas donnent sa diagonale sans devoir choisir une unité commune avec le côté. Une construction exacte est préférable à l'arrondi décimal lorsque la relation géométrique doit être préservée.
Avec des mesures physiques, on compare seulement des valeurs assorties d'une précision. Un rapport décimal observé ne prouve pas l'irrationalité ; il faut une démonstration portant sur les grandeurs mathématiques modélisées.
À ne pas confondre
Nombre irrationnel. « Irrationnel » qualifie un nombre qui n'est le quotient d'aucun entier par un entier non nul. « Incommensurable » qualifie la relation entre deux grandeurs ou deux nombres non nuls. √2 est irrationnel ; √2 et 1 sont incommensurables.
Incomparable. Deux objets incomparables ne peuvent pas être ordonnés selon la relation considérée. Deux longueurs incommensurables restent comparables par leur taille : √2 cm est supérieure à 1 cm, même sans mesure commune exacte.
Limites et pièges
Un arrondi n'est pas une mesure commune. Écrire √2 ≈ 1,414 remplace un rapport irrationnel par 1414/1000, qui est rationnel. Il faut garder √2 pour conclure sur la relation exacte.
Le quotient doit être défini. Le critère par le rapport suppose que le nombre placé au dénominateur n'est pas nul. La définition donnée ici porte sur des valeurs strictement positives. Si on l'étend aux valeurs non négatives en autorisant des coefficients entiers non négatifs, alors 0 et toute valeur b > 0 sont commensurables : b sert de mesure commune, avec 0 = 0 × b et b = 1 × b.
Les grandeurs doivent être de même nature. Comparer directement 1 cm à 1 cm2 ne produit pas un rapport sans dimension pertinent. Il faut comparer deux longueurs, deux aires ou deux grandeurs appartenant au même espace de mesure.
La propriété est exacte et relative à une paire. √2 et 2√2 sont commensurables, car leur rapport vaut 1/2. En revanche, √2 et 1 sont incommensurables. Une apparence irrationnelle isolée ne suffit donc pas.
Pour aller plus loin
Les premiers irrationnels replace √2 parmi les nombres qui ont élargi la notion de nombre au-delà des fractions.
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