ArithmétiqueNotion · Glossaire
Commensurable
Deux grandeurs sont dites commensurables s'il existe une unité commune dont chacune des deux grandeurs est un multiple entier. Arithmétiquement, deux nombres réels sont commensurables si leur rapport est un nombre rationnel. Les Grecs avaient découvert que la diagonale d'un carré et son côté ne sont pas commensurables (leur rapport est racine de 2, irrationnel), ce qui constitua une découverte fondamentale dans l'histoire des mathématiques. Cette notion est à la base de la distinction entre nombres rationnels et irrationnels.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une unité commune et traduire son existence par un rapport rationnel.
- Vérifier pas à pas que le côté et la diagonale d'un carré sont incommensurables.
- Éviter de confondre valeur exacte, approximation décimale et preuve de rationalité.
En clair
Imaginez deux longueurs que l'on veut mesurer avec une même petite règle. Si cette règle tient un nombre entier de fois dans chacune, les deux longueurs sont commensurables. Ainsi, 6 cm et 9 cm ont 3 cm pour mesure commune : la règle tient deux fois dans la première et trois fois dans la seconde.
Ce partage exact est impossible pour le côté d'un carré et sa diagonale. Quelle que soit la finesse de la règle choisie, l'une des deux mesures ne sera pas un nombre entier de règles.
Définition
Deux grandeurs de même nature sont commensurables lorsqu'une grandeur non nulle peut leur servir d'unité commune. Chacune s'écrit alors comme un multiple entier de cette unité. Par exemple, si les longueurs A et B valent respectivement m unités et n unités, où m et n sont des entiers non nuls, leur rapport vaut m/n : c'est un nombre rationnel.
Pour deux nombres réels non nuls, notés a et b, le critère s'écrit . Le symbole désigne l'ensemble des nombres rationnels. Inversement, si a/b est égal à la fraction p/q, avec p et q entiers et q non nul, la quantité a/p, ou de façon équivalente b/q, fournit une unité commune lorsque p est non nul.
Deux grandeurs sont incommensurables lorsque leur rapport est irrationnel. Le cas historique du carré l'illustre : sa diagonale divisée par son côté vaut √2, qui n'est pas rationnel. Cette opposition entre rapports rationnels et irrationnels fonde la distinction entre les deux familles de nombres.
Un exemple, pas à pas
Considérons un carré dont le côté mesure exactement 2 cm. Les données sont le côté c = 2 cm, deux côtés perpendiculaires de même longueur et la diagonale d, qui relie deux sommets opposés.
1. Le théorème de Pythagore donne le carré de la longueur d :
2. Comme d est une longueur positive, on prend la racine carrée positive :
3. On compare la diagonale au côté :
Le rapport √2 étant irrationnel, aucune unité commune ne mesure exactement le côté et la diagonale par deux nombres entiers. Ils sont donc incommensurables. Le contrôle consiste à refaire le calcul avec un côté quelconque s : la diagonale vaut s√2, et le rapport reste √2.
En pratique
Pour chercher une mesure commune à deux longueurs entières, on peut choisir une unité qui divise exactement les deux mesures. Avec 6 cm et 9 cm, 3 cm convient. Si aucun découpage entier n'apparaît, le rapport fournit un critère plus direct.
En géométrie, on calcule d'abord le rapport exact des deux longueurs. Un rapport rationnel autorise une unité commune ; un rapport irrationnel, comme √2 pour le côté et la diagonale d'un carré, impose de parler d'incommensurabilité.
Avec des mesures expérimentales, une valeur décimale ne suffit pas à conclure. On conserve la forme exacte lorsqu'elle est connue. Sinon, on décrit seulement l'accord à la précision de l'instrument, sans transformer un arrondi en preuve de commensurabilité.
À ne pas confondre
Commensurable et rationnel. « Commensurable » qualifie une paire de grandeurs ou de nombres ; « rationnel » qualifie le rapport qui permet de trancher. Les longueurs 6 cm et 9 cm sont commensurables parce que leur rapport 2/3 est rationnel.
Incommensurable et simplement très grand. En mathématiques, l'incommensurabilité ne décrit pas une taille. Elle signifie qu'aucune unité commune ne produit deux multiples entiers. Le côté de 2 cm et la diagonale de 2√2 cm sont proches en taille, mais incommensurables.
Commensurable et égal. Deux grandeurs n'ont pas besoin d'être égales pour partager une unité. Les longueurs 6 cm et 9 cm diffèrent, mais 3 cm les mesure respectivement deux et trois fois.
Limites et pièges
Comparer des grandeurs de natures différentes. Une longueur et une aire ne partagent pas la même unité. Leur quotient porte encore une dimension et n'est pas le nombre rationnel attendu par le critère. Il faut comparer deux longueurs, deux aires ou, plus généralement, deux grandeurs de même nature.
Prendre un arrondi pour une valeur exacte. Écrire √2 ≈ 1,414 ne rend pas √2 rationnel. Le nombre 1,414 est une approximation rationnelle, tandis que √2 reste irrationnel. Pour décider, il faut raisonner sur la valeur exacte et non sur l'affichage décimal.
Former un rapport avec un dénominateur nul. Le critère a/b rationnel suppose b non nul. Si b = 0, ce quotient n'est pas défini ; il faut revenir à la définition par multiples entiers d'une unité non nulle et préciser la convention adoptée pour la grandeur nulle.
Chercher une meilleure règle pour le carré. Réduire l'unité améliore seulement l'approximation de la diagonale. Le rapport √2 ne devient jamais rationnel : aucun seuil de finesse ne transforme le côté et la diagonale en multiples entiers d'une même unité.
Pour aller plus loin
La fiche Rationnels précise la famille de nombres à laquelle doit appartenir le rapport de deux grandeurs commensurables.
La fiche Irrationnels approfondit le cas opposé, illustré ici par √2 et l'incommensurabilité du côté avec la diagonale du carré.
L'article Les premiers irrationnels replace cette rupture dans l'histoire des nombres et prolonge l'épisode évoqué par la définition.
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