Garfield James Abram

En 1876, James Abram Garfield est encore membre du Congrès lorsqu’il publie une preuve géométrique du théorème de Pythagore. Son idée part d’un trapèze que l’on peut regarder de deux façons : comme une seule figure, puis comme trois triangles rectangles. Le calcul de la même aire fait apparaître l’égalité entre les carrés des deux côtés de l’angle droit et celui de l’hypoténuse. Cette démonstration éclaire un épisode précis de la vie d’un enseignant et homme politique, devenu ensuite le vingtième président des États-Unis.

James Abram Garfield (1831-1881) est une personnalité politique américaine qui a aussi enseigné et conservé un intérêt pour les mathématiques. La contribution mathématique associée à son nom est une démonstration du théorème de Pythagore publiée en 1876, alors qu’il siégeait au Congrès. Elle repose sur une comparaison d’aires, et non sur une activité mathématique présentée comme le centre de sa carrière.

Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le côté opposé à l’angle droit et on note sa longueur c. Les deux autres côtés ont pour longueurs a et b. La relation visée est $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$. Garfield l’obtient en calculant l’aire d’un trapèze de deux manières : l’aire du trapèze entier, puis la somme des aires de trois triangles rectangles. Les expressions, leur égalité et la simplification qui supprime les termes communs sont réalisées dans le bloc de l’exemple pas à pas.

La méthode s’applique donc à la géométrie euclidienne et à des triangles effectivement rectangles. Elle ne transforme pas Garfield en spécialiste dont toute l’œuvre serait mathématique : la preuve est une contribution ponctuelle qui relie son parcours d’enseignant à son parcours public.

Prenons un triangle rectangle de côtés 3 et 4 et d’hypoténuse 5. Pour redessiner la construction de Garfield, traçons un trapèze dont les côtés parallèles mesurent 3 et 4, séparés par une distance 3 + 4 = 7. Sur le côté inférieur, plaçons un point qui le partage en longueurs 4 puis 3, et relions ce point aux deux sommets supérieurs. Les régions de gauche et de droite sont alors deux triangles rectangles 3-4-5. Leurs hypoténuses de longueur 5 se rencontrent à angle droit et forment les deux côtés perpendiculaires du triangle central.

Les données sont les suivantes : a = 3 unités, b = 4 unités et c = 5 unités. Les deux premiers nombres désignent les côtés de l’angle droit ; le troisième désigne l’hypoténuse.

L’aire du trapèze vaut la moyenne de ses côtés parallèles, multipliée par leur distance : $(3+4)(3+4)\mathrm{/}2=49\mathrm{/}2(3+4)(3+4)/2=49/2$. Par découpage, les deux triangles extérieurs ont chacun l’aire $3\times 4\mathrm{/}2=63\backslash times4/2=6$, tandis que le triangle central, rectangle avec deux côtés perpendiculaires de longueur 5, a l’aire $5\times 5\mathrm{/}2=25\mathrm{/}25\backslash times5/2=25/2$. Leur somme est $6+6+25\mathrm{/}2=49\mathrm{/}26+6+25/2=49/2$. En général, l’égalité $(a+b{)}^2\mathrm{/}2=ab+c^2\mathrm{/}2(a+b)^2/2=ab+c^2/2$ conduit, après suppression du terme commun $2ab2ab$, à $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$.

Le résultat est exact : les deux calculs d’aire donnent 49/2 unités carrées. Séparément, le contrôle du théorème consiste à comparer la somme 9 + 16 au carré 25, et non à comparer directement les longueurs 3 + 4 et 5.

Pour raconter Garfield, on commence par sa vie d’enseignant et d’homme politique, puis on situe la publication de 1876. La preuve sert de fil mathématique à ce portrait, sans devenir une biographie complète de la géométrie.

Pour vérifier un triangle, on mesure ou connaît ses trois côtés et on repère l’angle droit. Si le côté opposé à cet angle est c, le calcul de a² + b² permet de tester la relation attendue.

Pour expliquer la preuve, on préfère le découpage par aires à une simple citation de la formule. Si la figure n’est pas un triangle rectangle, la trigonométrie ou une autre propriété géométrique devient une alternative adaptée.

La preuve de Garfield ne se confond pas avec le théorème de Pythagore lui-même. Le théorème est la relation générale valable pour tout triangle rectangle ; la preuve de 1876 est une manière particulière de la justifier par une comparaison d’aires. Le critère qui tranche est le rôle du texte : énoncer la relation décrit le théorème, tandis que construire un trapèze et égaler deux aires décrit la démonstration.

Garfield ne se confond pas non plus avec Pythagore. Le premier est l’auteur de cette démonstration publiée en 1876 dans le contexte rappelé ici ; le second est le nom traditionnellement attaché au théorème.

Le premier piège est d’oublier l’hypothèse d’angle droit. L’égalité a² + b² = c² n’est pas la règle générale de tous les triangles : elle identifie le cas rectangle lorsque c est le côté opposé à l’angle droit. Pour un triangle non rectangle, il faut employer une relation adaptée, par exemple la loi des cosinus.

Le cas dégénéré mérite aussi d’être écarté : si un côté a ou b vaut 0, la figure n’est plus un triangle rectangle non dégénéré. La comparaison d’aires perd alors son interprétation ordinaire ; il faut traiter séparément cette limite.

Enfin, la date 1876 désigne la publication de la démonstration alors que Garfield était membre du Congrès. Elle ne signifie ni que les mathématiques constituaient son activité principale, ni qu’il aurait découvert le théorème.

Pour replacer cette démonstration dans une histoire plus large, l’article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! permet de comparer plusieurs attestations et usages du résultat. Le lecteur y gagne un contexte historique qui complète le portrait de Garfield sans attribuer à celui-ci l’invention du théorème.