loculus d'Archimède

Imaginez un carré découpé en quatorze morceaux polygonaux. Le défi consiste à mélanger ces pièces, puis à les réunir sans trou ni chevauchement pour retrouver exactement le carré de départ. Les mêmes morceaux peuvent aussi former d’autres silhouettes.

Le jeu devient un problème de combinatoire lorsqu’on ne cherche plus seulement une solution, mais toutes les recompositions réellement différentes. Deux carrés qui coïncident après une symétrie ne comptent alors que pour une même classe.

Le loculus d’Archimède, nommé aussi stomachion ou ostomachion, est un puzzle géométrique formé de quatorze pièces polygonales obtenues par le découpage d’un carré. Une recomposition du carré utilise les quatorze pièces : leurs bords doivent produire une figure carrée complète, sans pièce oubliée, trou ni recouvrement. Les pièces permettent également de composer d’autres figures géométriques ou figuratives, mais ces assemblages ne sont pas des recompositions du carré.

La question combinatoire porte sur le nombre de recompositions distinctes. Une convention d’équivalence est donc nécessaire : lorsque deux assemblages se correspondent par une symétrie du carré, ils appartiennent à la même classe. Avec cette convention, le nombre établi est de dix-sept classes de recompositions. Ce total ne signifie pas que le puzzle ne possède que dix-sept positions visibles : plusieurs positions peuvent représenter la même classe après prise en compte des symétries.

Le loculus est apparenté au tangram par son principe d’assemblage, mais ses quatorze pièces et son problème de dénombrement le caractérisent ici. Il est attribué à Archimède de Syracuse et présenté comme le plus ancien puzzle combinatoire connu.

On rencontre le loculus sous la forme d’un carré découpé ou d’un jeu de pièces séparées. Quatre marqueurs permettent de l’identifier : le cadre de départ est carré, le jeu comprend quatorze pièces, chaque pièce est polygonale et toutes doivent participer à la recomposition. Un schéma de principe peut matérialiser le passage des quatorze morceaux au carré complet sans prétendre reproduire la découpe historique.

Le support porte deux informations complémentaires. La découpe fixe les pièces disponibles ; leur disposition indique une solution particulière. Si la figure obtenue n’est pas un carré, elle illustre une autre possibilité figurative du jeu, mais pas une solution du problème de recomposition du carré.

La grandeur recherchée est un nombre de classes de recompositions du carré, et non un nombre brut de positions. Pour examiner un assemblage, procédez dans cet ordre : vérifiez que les quatorze pièces sont présentes ; contrôlez qu’elles couvrent un carré sans trou ni chevauchement ; comparez ensuite la disposition aux solutions déjà reconnues ; appliquez enfin la convention de symétrie avant de compter une nouvelle classe.

L’œil peut prendre deux dispositions orientées différemment pour deux solutions nouvelles. Le bon réflexe consiste à comparer les assemblages en autorisant les symétries du carré prévues par le dénombrement. S’ils coïncident ainsi, ils représentent une seule classe. Le total de référence est dix-sept, modulo ces symétries.

Pour isoler le test de classement, prenez comme configuration A le carré complet numéroté de 1 à 14 dans le schéma de principe de la fiche. Faites-en une copie sur papier ou à l’écran, puis tournez cette copie d’un quart de tour vers la droite : elle devient B. La position de chaque numéro et chaque frontière entre deux zones de B sont ainsi déterminées par A ; les deux configurations peuvent être comparées sans supposer un assemblage extérieur à la fiche.

1. Sur A et sur sa copie B, contrôlez la présence des numéros 1 à 14 et le contour carré complet.
2. Faites pivoter B d’un quart de tour vers la gauche, en conservant toutes ses zones solidaires.
3. Placez B sur A : les contours, les numéros et les frontières entre zones coïncident ; chaque zone numérotée recouvre celle de même numéro.
4. Concluez que B n’est pas une nouvelle classe : cette rotation le ramène exactement à A.
5. Pour une autre candidate, ne retenez une classe distincte que si aucune symétrie du carré ne fait ainsi coïncider les quatorze pièces avec une référence.

Ce cas montre une décision locale de classement ; il ne suffit pas, à lui seul, à établir le total. C’est en répétant ce contrôle sur toutes les recompositions que l’on obtient dix-sept classes : chacune utilise toutes les pièces et aucune paire conservée ne devient identique par une symétrie du carré.

Comme jeu d’assemblage, le loculus invite à reconstruire le carré avec toutes les pièces. Si le but est seulement de créer librement des silhouettes avec moins de pièces, il faut annoncer cette autre règle : le résultat ne répond plus au problème du carré.

Comme activité de géométrie, on observe les bords, les angles et la façon dont les polygones se raccordent. Un dessin approximatif peut aider à chercher, mais la validation exige un carré complet, sans vide ni superposition.

Comme problème d’analyse combinatoire, on classe les solutions au lieu de s’arrêter à la première. Dès que deux dispositions semblent différentes, la symétrie sert de test avant de les compter séparément.

Le tangram. Les deux jeux assemblent des pièces polygonales, mais le loculus traité ici en possède quatorze. Un jeu présenté sous le nom de tangram ne devient donc pas un loculus par la seule ressemblance de son principe.

Une figure libre. Une silhouette géométrique ou figurative réalisée avec les pièces appartient aux possibilités du jeu. Elle ne compte toutefois parmi les dix-sept classes que si elle recompose le carré et respecte la convention de symétrie retenue.

Compter des positions au lieu des classes. Deux carrés peuvent sembler distincts à cause de leur orientation. S’ils coïncident par une symétrie du carré, il faut les regrouper avant d’annoncer le total de dix-sept.

Accepter une couverture incomplète. Un contour presque carré ou un assemblage qui laisse un vide n’est pas une recomposition. Il faut contrôler la présence des quatorze pièces, puis l’absence de trou et de recouvrement.

Mélanger les objectifs. Le loculus permet de former d’autres figures, mais le nombre dix-sept concerne seulement les façons de reconstituer le carré, modulo ses symétries. Les silhouettes figuratives doivent être étudiées séparément.

Le tangram permet de comparer deux jeux fondés sur l’assemblage de polygones et de préciser ce qui caractérise leurs pièces.

L’analyse combinatoire prolonge la question centrale : organiser un dénombrement exhaustif sans compter plusieurs fois des configurations équivalentes.