Dehn Max

Imaginez deux solides de même volume que l'on voudrait découper en morceaux polyédriques, puis réassembler sans déformation. En deux dimensions, des polygones de même aire peuvent toujours être traités ainsi par la méthode euclidienne. En trois dimensions, Max Dehn a montré que ce geste peut échouer : un cube et un tétraèdre régulier n'ont pas la même signature géométrique, même si l'on ajuste leurs volumes. Cette signature, appelée invariant de Dehn, tient compte des arêtes et des angles dièdres, c'est-à-dire des angles formés par deux faces. Elle explique pourquoi certains volumes ne sont pas interchangeables par découpage.

L'invariant de Dehn est une quantité associée à un polyèdre euclidien. Il combine, au sens de la théorie des groupes, les longueurs de ses arêtes et les angles dièdres qu'elles portent. Un angle dièdre est l'angle formé par deux faces ayant une arête commune. La valeur obtenue reste inchangée lorsqu'un polyèdre est découpé en un nombre fini de morceaux polyédriques puis réassemblé par des déplacements rigides ; elle fournit donc un obstacle à l'équidécomposabilité.

Le troisième problème de Hilbert demandait si deux polyèdres de même volume sont toujours équidécomposables. La réponse est négative : le volume ne suffit pas, car deux polyèdres de même volume peuvent avoir des invariants de Dehn différents. Le cube et le tétraèdre régulier, redimensionnés pour avoir le même volume, constituent précisément un exemple de cette différence. La construction s'appuie sur la géométrie euclidienne en dimension trois.

On compare le cube et le tétraèdre régulier comme candidats à une équidécomposition. Les données sont les suivantes : deux polyèdres ; un découpage fini en morceaux polyédriques ; des réassemblages par déplacements rigides ; le volume comme première grandeur de comparaison ; les longueurs d'arêtes et les angles dièdres comme données supplémentaires.

Étape 1 : le volume seul ne permet pas de conclure, car le problème de Hilbert demande justement si l'égalité des volumes suffit.
Étape 2 : on relève les données minimales : pour chaque arête e, sa longueur ℓₑ et son angle dièdre intérieur θₑ ; il faut aussi le nombre d'arêtes et le volume. En pratique, chaque arête apporte donc une contribution longueur–angle, et l'on additionne ces contributions pour obtenir une quantité conservée par découpage-recomposition. Une somme non nulle pour un solide alors qu'elle est nulle pour l'autre fournit l'obstacle qui interdit l'équidécomposition. La règle exacte est D(P) = Σₑ ℓₑ ⊗ [θₑ] dans ℝ ⊗_ℚ (ℝ/πℚ), où [θₑ] désigne la classe de l'angle modulo les multiples rationnels de π. Cette somme est l'invariant de Dehn : on additionne les tenseurs longueur–angle, et non les produits de nombres réels.
Étape 3 : pour un cube d'arête a, il y a 12 arêtes et θ = π/2, donc D(cube) = 12a ⊗ [π/2] = 0, car π/2 appartient à πℚ. Pour un tétraèdre régulier d'arête b, il y a 6 arêtes et l'angle dièdre intérieur vaut θ = arccos(1/3), donc D(tétraèdre) = 6b ⊗ [arccos(1/3)].
Étape 4 : pour égaler les volumes, on impose a³ = b³/(6√2), soit b = (6√2)^1/3a. L'angle arccos(1/3) n'est pas un multiple rationnel de π (son cosinus rationnel n'est ni 0, ±1/2 ni ±1), donc sa classe [arccos(1/3)] est non nulle ; comme b ≠ 0, l'invariant du tétraèdre est non nul. Les deux invariants diffèrent donc malgré l'égalité des volumes, ce qui exclut l'équidécomposition par morceaux polyédriques et déplacements rigides. Une égalité d'invariants, elle, ne suffirait toujours pas à démontrer une équidécomposition.

L'invariant de Dehn sert d'abord à décider qu'une égalité de volumes ne suffit pas pour envisager une découpe-recomposition de polyèdres. Lorsque deux solides ont des invariants différents, cette opération est impossible dans le cadre euclidien considéré.

Dans une étude de géométrie, on l'emploie comme un test d'obstruction : le volume fournit un premier filtre, puis les arêtes et les angles dièdres apportent une information plus fine. Si l'objectif est seulement de comparer des volumes, le calcul de volume reste l'outil adapté ; si l'objectif porte sur une équidécomposition, l'invariant de Dehn devient le critère pertinent.

Le volume et l'invariant de Dehn ne répondent pas à la même question : le volume vérifie une égalité nécessaire, tandis que l'invariant peut fournir l'obstacle qui tranche une équidécomposition. Il ajoute aux longueurs d'arêtes l'information des angles dièdres.

Il ne s'agit pas non plus d'une simple comparaison visuelle des formes. Une apparence différente ne prouve rien à elle seule, tandis qu'une différence d'invariant constitue un obstacle mathématique à l'équidécomposabilité par morceaux polyédriques.

Le premier piège consiste à inverser le test : des invariants égaux ne constituent pas, à eux seuls, une démonstration complète d'équidécomposabilité. Une différence suffit pour exclure le découpage-recomposition envisagé ; une égalité demande d'autres arguments. Il faut aussi rester dans le cadre des polyèdres euclidiens et des découpages en un nombre fini de morceaux polyédriques.

Le résultat ne porte pas sur n'importe quelle transformation. Les morceaux doivent être réassemblés par des déplacements rigides, sans déformation, et les polyèdres comparés doivent avoir le même volume si l'on cherche une équidécomposition. Enfin, la source distingue le cas tridimensionnel du cas des polygones : en dimension deux, l'égalité des aires suffit pour la décomposition euclidienne évoquée ; cette analogie ne doit pas être transposée sans précaution aux volumes.

Le prolongement naturel mène au problème général des polyèdres équidécomposables : il permet de replacer l'invariant de Dehn dans l'étude des découpages et des réassemblages de solides. Pour le contexte historique, la fiche sur les problèmes de Hilbert situe le troisième problème parmi les questions proposées par Hilbert.

Ces deux ouvertures complètent la fiche sans changer de question : la première approfondit l'obstruction géométrique, la seconde éclaire le cadre historique dans lequel Dehn a obtenu son résultat.