polyèdres équidécomposables

Imaginez un cube en bois que l'on découpe suivant des plans pour obtenir plusieurs morceaux. Si ces morceaux peuvent être déplacés et assemblés sans les déformer afin de former exactement un second polyèdre, les deux solides sont équidécomposables. Les pièces doivent rester des polyèdres, en nombre fini, et leur réunion doit remplir le nouveau solide sans trou ni chevauchement. Le volume est conservé, puisque le découpage ne crée ni matière ni espace supplémentaire. Mais deux solides de même volume ne sont pas automatiquement équidécomposables : une autre information géométrique intervient.

Soient P et Q deux polyèdres, c'est-à-dire deux solides de l'espace limités par un nombre fini de faces polygonales. Ils sont équidécomposables s'il existe un nombre fini de polyèdres P₁, …, Pₙ dont les intérieurs sont disjoints, tels que ces pièces reconstituent P et puissent être déplacées par des isométries de l'espace pour reconstituer Q. Une isométrie conserve les distances : elle autorise une translation ou une rotation, ainsi qu'une symétrie si l'on autorise les retournements, mais aucune déformation.

Cette relation implique l'égalité des volumes. En notant V(P) le volume de P et V(Q) celui de Q, on doit donc avoir :

La réciproque est fausse pour les polyèdres généraux. Le troisième problème de Hilbert demandait précisément si cette égalité suffisait. Max Dehn a montré qu'il faut aussi l'égalité d'un invariant de Dehn, une quantité qui encode certaines directions et longueurs des arêtes. Deux polyèdres de même volume peuvent donc être séparés par cet invariant et ne pas admettre de découpage commun.

Considérons un cube C d'arête 2 unités. On veut montrer directement que ce cube est équidécomposable avec lui-même après un découpage.

Les données sont les suivantes : l'arête de C mesure 2 unités ; un seul plan médian parallèle à chaque paire de faces opposées, placé à 1 unité d'une des faces, découpe le cube dans chacune des trois directions ; chaque petite pièce est un cube d'arête 1.

Dans chacune des trois directions, l'arête 2 est partagée en 2 segments d'1 unité.
Le découpage produit 2 × 2 × 2 = 8 petits cubes.
Chaque petit cube a un volume égal à 1 × 1 × 1 = 1 unité³.
Le volume total des pièces vaut 8 × 1 = 8 unités³.
Le cube initial a aussi un volume égal à 2 × 2 × 2 = 8 unités³.

Les huit pièces peuvent être replacées dans leur position initiale et reconstituent exactement C. Le contrôle est refaisable : le comptage donne 8 pièces, et la somme de leurs volumes donne 8 unités³, comme le volume du cube initial. Cet exemple illustre le mécanisme sans prétendre fournir un découpage entre deux formes différentes.

Pour vérifier une équidécomposition proposée, on commence par suivre les contours de chaque pièce. Les pièces doivent former le premier polyèdre sans chevauchement intérieur et sans espace vide ; une simple égalité de volumes ne suffit pas.

On compare ensuite les mouvements autorisés. Une pièce peut être translatée ou tournée, mais elle ne peut pas être étirée, écrasée ou découpée à nouveau si la décomposition annoncée est déjà fixée. Les interfaces doivent être géométriquement compatibles dans leur ensemble, sans trou ni chevauchement ; une face peut être partiellement en contact ou rencontrer plusieurs faces subdivisées.

Dans un problème de géométrie, le volume est donc un premier contrôle rapide. Lorsque deux polyèdres ont le même volume mais que la question porte sur une équidécomposition, il faut aussi examiner l'invariant de Dehn ou utiliser un résultat qui garantit sa coïncidence.

Polyèdres de même volume. Le critère testable est l'égalité des volumes, mais elle ne garantit pas l'existence d'un découpage commun. Le cas des polyèdres concernés par le problème de Hilbert tranche : l'invariant de Dehn peut différer, et l'équidécomposabilité échoue.

Polyèdres congruents. Deux polyèdres congruents ont la même forme et la même taille, à un mouvement rigide près. Ils sont bien équidécomposables, avec une seule pièce, mais l'équidécomposabilité autorise des formes initiale et finale différentes après découpage.

Le volume ne suffit pas. Deux polyèdres peuvent avoir exactement le même volume et ne pas être équidécomposables. Le symptôme est une différence de leur invariant de Dehn ; il faut alors abandonner le seul calcul de volume et vérifier cette obstruction.

Une pièce qui se recouvre elle-même. Un assemblage qui laisse un chevauchement ou un trou n'est pas une reconstitution exacte, même si les volumes additionnés semblent convenir. Il faut vérifier que les intérieurs des pièces sont disjoints et que leur réunion couvre tout le polyèdre cible.

Un découpage non fini. La définition demande un nombre fini de polyèdres. Une construction qui exige une infinité de pièces, une limite ou des pièces qui ne sont pas des polyèdres ne satisfait pas directement cette définition.

Le troisième problème de Hilbert ouvre sur une question plus large : quelles quantités géométriques restent inchangées lorsqu'un solide est découpé puis réassemblé par mouvements rigides ? L'invariant de Dehn répond partiellement à cette question et explique pourquoi le volume, pourtant conservé, ne caractérise pas à lui seul l'équidécomposabilité. Son étude relie la géométrie des polyèdres à l'algèbre et à la théorie des invariants.