polygones équidécomposables

Imaginez une forme plane en papier. On peut la couper suivant des segments pour obtenir quelques morceaux, puis déplacer et retourner ces morceaux afin de fabriquer une autre forme. Si les morceaux recouvrent exactement la seconde forme, sans se superposer ni laisser de trou, les deux polygones sont équidécomposables.

Le point essentiel est que le découpage conserve l'aire totale. Le théorème de Bolyai-Gerwien affirme pourtant davantage : pour deux polygones qui ont la même aire, un tel découpage et réassemblage existe toujours, même si leur contour et leur nombre de côtés diffèrent.

Deux polygones sont équidécomposables lorsqu'il existe un nombre fini de pièces polygonales qui forment une partition du premier et dont les mêmes pièces, transformées par des isométries du plan — translations, rotations ou réflexions —, forment exactement le second. Les pièces ne se chevauchent pas dans le réassemblage. Cette relation est aussi appelée scisso-équivalence.

Une découpe ne change pas l'aire : l'aire du polygone initial est la somme des aires des pièces, et cette somme est également l'aire du polygone final. La réciproque est le contenu du théorème de Bolyai-Gerwien, démontré en 1833 : deux polygones de même aire sont toujours équidécomposables.

Le résultat est propre au plan. En dimension 3, remplacer les polygones par des polyèdres et l'aire par le volume ne donne pas une affirmation analogue : l'invariant de Dehn distingue certains polyèdres de même volume qui ne sont pas décomposables l'un dans l'autre.

Prenons un carré de côté 4 unités et un rectangle de dimensions 2 unités sur 8 unités. Le carré est découpé par un segment parallèle à deux de ses côtés en deux rectangles identiques de dimensions 2 unités sur 4 unités.

1. L'aire du carré vaut $4\times 4=164\backslash times4=16$ unités carrées.
2. L'aire du rectangle cible vaut $2\times 8=162\backslash times8=16$ unités carrées.
3. Chaque pièce mesure 2 unités sur 4 unités ; les deux pièces peuvent être placées bout à bout pour former 2 unités sur 8 unités.
4. Les pièces ne se chevauchent pas et leur contour commun disparaît dans le rectangle final.

Les deux formes ont donc la même aire et cet exemple donne explicitement une équidécomposition. Le théorème de Bolyai-Gerwien garantit que cette possibilité ne dépend pas d'un cas aussi régulier : elle existe pour tout couple de polygones de même aire.

Pour rechercher une équidécomposition, on commence par comparer les aires. Des aires différentes interdisent immédiatement un réassemblage exact, car le découpage et le déplacement des pièces ne créent ni ne détruisent de matière. Des aires égales rendent la transformation possible pour des polygones du plan, d'après le théorème de Bolyai-Gerwien.

Dans un dessin, on repère ensuite les segments de découpe et on vérifie chaque pièce : les portions de côtés qui se trouvent sur le contour extérieur doivent en retrouver le contour, tandis que les côtés internes doivent s'apparier avec ceux d'autres pièces, sans recouvrement de leurs intérieurs. L'exemple du carré de côté 4 unités utilise deux rectangles de 2 unités sur 4 unités ; leur réunion forme le rectangle de 2 unités sur 8 unités.

Égalité d'aire et égalité de forme. Deux polygones équidécomposables ont la même aire, mais ils ne sont pas nécessairement congruents : leurs formes peuvent être différentes avant le découpage. Dans l'exemple conducteur, un carré devient un rectangle après réassemblage.

Équidécomposition et simple déplacement. Un déplacement, une rotation ou un retournement conserve une pièce entière. Une équidécomposition autorise en plus le découpage en plusieurs pièces, puis leur réassemblage.

Polygones et polyèdres. Le théorème de Bolyai-Gerwien concerne les polygones du plan. En dimension 3, l'égalité des volumes ne suffit pas toujours : l'invariant de Dehn fournit une obstruction pour certains polyèdres.

Le mot « polygone » est important. L'énoncé de Bolyai-Gerwien porte sur des figures planes limitées par un nombre fini de segments. Il ne suffit pas de transposer la phrase à des solides en remplaçant l'aire par le volume.

Les pièces doivent former exactement la cible. Une petite superposition, un trou ou une pièce qui dépasse ne constitue pas un réassemblage exact. L'aire égale est une condition nécessaire ; dans le plan, le théorème garantit l'existence d'un découpage adapté, sans que n'importe quel découpage convienne.

La dimension 3 change la réponse. En 1900, la question de savoir si deux polyèdres de même volume sont toujours scisso-équivalents figurait parmi les 23 problèmes de Hilbert. Max Dehn y a répondu négativement dès 1902 en construisant un invariant, aujourd'hui appelé invariant de Dehn, qui sépare certains cas.

La fiche théorème de Bolyai-Gerwien prolonge le résultat plan évoqué ici et son histoire mathématique.

La fiche polyèdres équidécomposables examine la question analogue en dimension 3.

La fiche Dehn Max présente le mathématicien associé à l'invariant qui explique l'échec de la généralisation aux polyèdres.

La fiche problèmes de Hilbert replace cette question dans la liste annoncée en 1900.