théorème isopérimétrique

Prenez un fil fermé de 40 cm et changez sa forme sans modifier sa longueur. En rectangle de 12 cm sur 8 cm, il entoure 96 cm². Arrondi en cercle, il entoure environ 127,32 cm².

Le théorème isopérimétrique affirme qu'aucune autre forme plane de même périmètre ne peut faire mieux que le disque. Il transforme donc une intuition — la forme ronde enferme beaucoup d'espace — en une borne exacte.

Dans le plan euclidien, on considère une région fermée convexe S. Son aire, notée a, est strictement positive ; la longueur de son bord, notée p, est son périmètre. Le théorème isopérimétrique donne la borne suivante : $a\le \frac{p^2}{4\pi }a\backslash leq\backslash frac\{p^2\}\{4\backslash pi\}$. À périmètre fixé, l'aire ne peut donc pas dépasser celle du disque ayant ce périmètre.

La même relation s'écrit $p^2-4\pi a\ge 0p^2-4\backslash pi\; a\backslash geq\; 0$. La différence p² − 4πa est appelée déficit isopérimétrique : elle est nulle pour un disque et positive pour toute autre région convexe du cadre énoncé. L'égalité caractérise entièrement le cas optimal : elle est atteinte si et seulement si S est un disque.

Le résultat porte sur l'optimisation d'une aire sous une contrainte de périmètre. Il ne dit pas que toutes les figures de même aire ont le même périmètre ; sous sa forme équivalente, il dit que le disque a aussi le plus petit périmètre parmi les régions d'aire fixée.

Si S est une région fermée convexe du plan euclidien, d'aire a > 0 et de périmètre p, alors :

La borne est atteinte exactement lorsque S est un disque. Ainsi, connaître p suffit à calculer l'aire maximale possible, mais pas l'aire d'une forme quelconque.

Dans l'énoncé retenu ici, la figure est une région du plan euclidien, fermée et convexe. Son bord possède une longueur finie p, et son aire a est strictement positive. Le périmètre et l'aire doivent être exprimés dans des unités compatibles.

La contrainte à fixer est le périmètre. Le résultat obtenu est une borne supérieure pour l'aire, avec un unique type de forme réalisant l'égalité : le disque, à déplacement ou rotation près.

Un contour qui se croise ne délimite pas sans convention une unique région fermée convexe. On ne lui applique donc pas directement cet énoncé : il faut d'abord préciser la région mesurée et son bord, ou employer une version adaptée du théorème.

Un fil fermé mesure 40 cm. Il forme d'abord un rectangle de 12 cm sur 8 cm, puis un cercle. Les deux contours ont donc le même périmètre p = 40 cm.

1. Le rectangle a bien pour périmètre 2 × (12 + 8) = 40 cm. Son aire vaut 12 × 8 = 96 cm².

2. La borne isopérimétrique associée à 40 cm vaut : $\frac{p^2}{4\pi }=\frac{{40}^2}{4\pi }=\frac{400}{\pi }{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\backslash frac\{p^2\}\{4\backslash pi\}=\backslash frac\{40^2\}\{4\backslash pi\}=\backslash frac\{400\}\{\backslash pi\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$, soit environ 127,32 cm². Le rectangle reste sous cette borne.

3. Le cercle de périmètre 40 cm a pour rayon 20/π cm. Son aire est exactement 400/π cm² : il atteint la borne. La comparaison à la même échelle rend visible l'aire supplémentaire enfermée par le disque.

4. Un contrôle direct donne pour le rectangle un déficit p² − 4πa = 1 600 − 384π, soit environ 393,63 cm², donc une valeur positive. Pour le disque, ce déficit vaut exactement 0.

Pour comparer des enceintes planes construites avec la même longueur de bord, on calcule leurs aires puis la borne p²/(4π). Si seule l'aire maximale compte, le disque est la référence ; si des côtés droits sont imposés, il faut optimiser dans la famille de polygones autorisée.

Pour tester si une forme est proche de l'optimum, on calcule son déficit p² − 4πa. Une valeur faible indique une aire proche de la borne, mais ne remplace pas une étude géométrique précise de la forme.

Pour dimensionner un contour à partir d'une aire exigée, la lecture inverse fournit un périmètre minimal. Si d'autres contraintes interviennent — accès, angles ou emprise rectangulaire — le cercle cesse d'être admissible et le problème d'optimisation doit les intégrer.

Disque et cercle. Le cercle est le bord, tandis que le disque est la région qu'il enferme. Dans le théorème, le périmètre mesure le cercle et l'aire mesure le disque.

Inégalité isopérimétrique et formule d'aire. L'inégalité donne une borne valable pour toute région du cadre énoncé. La formule πr² donne l'aire d'un disque lorsque son rayon r est connu.

Disque optimal et carré optimal. À périmètre fixé, le carré maximise l'aire parmi les rectangles, mais le disque maximise l'aire parmi toutes les régions admises. Avec 40 cm de bord, leurs aires sont respectivement 100 cm² et environ 127,32 cm².

Unités incohérentes. Si p est exprimé en centimètres et a en mètres carrés, le déficit calculé n'a pas de sens. Il faut convertir les deux grandeurs dans un même système avant de comparer p² et 4πa.

Égalité arrondie. Une valeur décimale proche de 0 ne prouve pas que la forme est un disque. Il faut conserver les valeurs exactes lorsque c'est possible, puis interpréter l'écart selon la précision des mesures.

Aire nulle. L'énoncé source suppose a > 0. Un segment parcouru aller-retour peut avoir une longueur, mais il n'enferme aucune aire positive et ne constitue pas une région du cadre annoncé.

Cadre élargi sans précaution. Des versions plus générales existent au-delà des régions convexes, mais leurs notions de bord et d'aire doivent être précisées. Il ne faut pas transférer automatiquement l'énoncé à une surface courbe ou à l'espace sans changer la constante et les hypothèses.

Le problème de Didon replace la recherche de l'aire maximale dans le récit antique cité à l'origine du problème isopérimétrique.

La géométrie convexe situe l'hypothèse de convexité dans le domaine où formes, périmètres et problèmes d'optimisation sont étudiés ensemble.

Concept de convexité précise la propriété géométrique exigée par l'énoncé présenté dans cette fiche.

Unités de mesure d'aire aide à rendre compatibles aire et carré de la longueur avant tout calcul du déficit.