En géométrie convexe, on s’intéresse à la forme des ensembles de solution à des questions d’optimisation combinatoire, d’analyse, de recherche opérationnelle… C’est une discipline qui possède une longue histoire, qui s’écrit encore de nos jours grâce aux progrès fulgurants que connaissent actuellement l’algorithmique, l’optimisation, l’apprentissage automatique ou encore l’intelligence artificielle.
Avec un lasso ou un élastique…
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Un ensemble convexe du plan ou de l’espace possède une propriété géométrique intuitive : si deux points appartiennent à , alors tous les points du segment de droite qui les joint lui appartiennent également. La notion d’enveloppe convexe est tout aussi accessible : si est un ensemble de points du plan , on peut voir son enveloppe convexe comme la partie de délimitée par une sorte de « lasso » qui enserrerait . Si est par exemple le graphisme de la lettre majuscule W, le lasso délimite alors le trapèze plein dans lequel s’insère la lettre. On le voit en imaginant un grand élastique qu’on lâcherait « autour » de la lettre W : la forme géométrique que prend l’élastique une fois qu’on l’a lâché est l’enveloppe convexe recherchée. Plus formellement, l’enveloppe convexe d’une partie du plan ou de l’espace est l’intersection (forcément convexe) de tous les ensembles convexes qui incluent . C’est l’ensemble convexe minimum qui contient .
Par exemple, dans le plan, si est la réunion de deux droites parallèles distinctes, son enveloppe sera la partie du plan comprise entre ces deux droites.
De même, si est la réunion dans l’espace de trois droites verticales non coplanaires (ou de trois droites parallèles non coplanaires), son enveloppe convexe est la colonne triangulaire admettant ces droites comme arêtes.
