Convexité
Implicitement présente dans la géométrie de la Grèce antique, la convexité trouve sa formulation rigoureuse au XIXe siècle en analyse, dans le cadre de la résolution d’inégalités. Dans tous les domaines qui l’utilisent, dès lors que l’objet manipulé est convexe, on constate que tout devient facile ! De subtiles propriétés géométriques « sautent aux yeux » ou s’établissent aisément. Le concept investit de nombreux domaines mathématiques (topologie, recherche opérationnelle…) avant d’être utilisé bien au-delà, comme en intelligence artificielle, en finance ou en économie.
Tous les articles de ce dossier
PodcastUne théorie moderne aux origines anciennes | Tangente
C’est dans le courant du siècle dernier que la convexité est devenue une discipline mathématique autonome. Auparavant, d’illustres mathématiciens avaient déjà pressenti, occasionnellement, l’intérêt que pourrait présenter cette notion en géométrie et en analyse.
PodcastOptimiser la consommation | Tangente
Opérer un choix en matière de consommation n’est pas chose aisée. Mais, pour un consommateur rationnel, le recours à la notion de convexité est d’une grande utilité ! La preuve par l’exemple en est fournie ici avec la théorie du consommateur.
PodcastLa géométrie convexe
La géométrie convexe se situe à la frontière de l’optimisation, de l’analyse, de la topologie, de la combinatoire et évidemment de la géométrie. Les interprétations graphiques ou visuelles qu’elle permet sont un outil puissant pour l’intuition. Pour autant, des questions fondamentales restent encore ouvertes.
PodcastDes fonctions utiles en analyse
Avec un graphe « tourné vers le ciel », les fonctions convexes poussent à l’optimisme. Plus sérieusement, introduites pour prouver de jolies inégalités, elles ont montré leur importance bien au-delà des mathématiques. Mais, précisément, quelles sont les propriétés des fonctions convexes ?
PodcastConvexité et inégalités
Les fonctions convexes se sont développées en analyse pour démontrer des inégalités
PodcastLa convexité en finance | Tangente
Les mathématiques jouent un rôle important en finance. Depuis quelques années, la rémunération du capital a été réduite de manière drastique, pour diverses raisons économiques et politiques. En effet, en Europe aujourd’hui, malgré une rémunération dérisoire du capital qui devient la règle, l’inflation demeure néanmoins bien réelle, puisque voisine de 5 %.
PodcastAu-delà de la convexité | Tangente
L’idée intuitive de la notion de convexité semble des plus naturelles. Pourtant, on ne peut éviter de se demander si, en modifiant légèrement la définition formelle, on n’aboutirait pas à d’autres idées intéressantes… Effectivement, à ce niveau-là également, la convexité est fertile !