Meusnier Jean-Baptiste

En 1784, Jean-Baptiste Meusnier entre à l'Académie des Sciences après une formation d'ingénieur militaire à Mézières auprès de Monge. Son travail mathématique porte notamment sur une question que l'on peut dessiner : comment une courbe se plie lorsqu'elle est tracée sur une surface.

Imaginez une ligne C dessinée sur une surface S : la ligne est le trajet que l'on suit, la surface est son support. Au point M, on coupe S par un plan qui contient la direction suivie par C et la normale à la surface ; la courbe obtenue est la section normale qui sert de pliure de comparaison. Meusnier relie la courbure de C à celle de cette coupe. Il distingue aussi deux formes remarquables parmi les surfaces minimales : le caténoïde et l'hélicoïde.

Jean-Baptiste Marie Charles Meusnier de la Place (1754–1793) est un ingénieur et mathématicien français. Formé à l'Académie militaire de Mézières, où Monge compte parmi ses professeurs, il devient membre de l'Académie des Sciences en 1784. Il mène parallèlement une carrière d'ingénieur militaire, devient général de la Révolution et meurt au combat en 1793. Il collabore aussi avec Lavoisier sur la décomposition de l'eau et la synthèse de l'hydrogène.

En géométrie différentielle, ses contributions concernent la courbure des surfaces. Parmi les surfaces de révolution régulières non planes, Meusnier identifie le caténoïde comme l'unique modèle minimal, à déplacement et homothétie près, quitte à n'en considérer qu'une portion. Il identifie également l'hélicoïde comme l'unique surface minimale réglée non plane. Ces deux affirmations portent sur deux classes différentes : les surfaces de révolution régulières non planes, d'une part, et les surfaces réglées non planes, d'autre part.

Deux théorèmes portent son nom. Le premier concerne deux courbes régulières d'une même surface régulière : si elles passent par le même point M, y ont la même tangente et le même plan osculateur, si leurs courbures en M sont non nulles et si ce plan osculateur est distinct du plan tangent à la surface en M, alors elles ont le même centre de courbure en M. Le second part d'une courbe régulière C tracée sur une surface régulière S au point M. Lorsque les courbures de C et de la section normale considérée sont non nulles, le centre de courbure de C est la projection orthogonale, sur son plan osculateur en M, du centre de courbure de la section normale de S qui contient la tangente à C en M.

On applique le second théorème à une courbe C dessinée sur une surface lisse S. On choisit un point M de C, puis on repère la direction de la tangente à C en M. Le plan osculateur est le plan qui accompagne au mieux la courbe au voisinage de M ; dans le schéma associé, c'est la bande jaune qui recevra la projection.

1. Par M, on imagine le plan qui contient à la fois la tangente à C et la normale à S. Sa coupe avec S donne la section normale : c'est la courbe de comparaison dont on observe la pliure en M.

2. Au voisinage de M, on repère le cercle qui épouse localement cette section normale : son centre est le centre de courbure O_n. C'est le point O_n placé au-dessus de la bande jaune dans le schéma.

3. On projette O_n orthogonalement sur le plan osculateur de C en M. Le pied de cette projection est noté O.

Si la surface et la courbe sont régulières au voisinage de M, et si les courbures de C et de la section normale en M sont non nulles, le théorème donne le résultat : O est le centre de courbure de C en M. Le contrôle consiste à vérifier que O appartient au plan osculateur et que le segment O_nO est perpendiculaire à ce plan.

Pour situer Meusnier dans l'histoire des mathématiques, on associe son nom à la courbure des surfaces, au caténoïde et à l'hélicoïde. Sa carrière militaire et sa collaboration avec Lavoisier complètent ce portrait sans remplacer son apport géométrique.

Face à deux courbes régulières tracées sur une même surface régulière, le premier théorème convient lorsqu'elles passent par le même point M et que leur tangente et leur plan osculateur y coïncident. Si leurs courbures en M sont non nulles et que leur plan osculateur est distinct du plan tangent à la surface en M, il conduit alors à comparer directement leurs centres de courbure.

Pour une seule courbe sur une surface, le second théorème fournit l'autre démarche : on passe par la section normale contenant la tangente, puis par une projection orthogonale sur le plan osculateur.

Caténoïde et hélicoïde. Le caténoïde est distingué dans la classe des surfaces minimales de révolution. L'hélicoïde est distingué dans celle des surfaces minimales réglées non planes. Le critère qui tranche est donc la classe considérée, pas le seul qualificatif « minimale ».

Les deux théorèmes de Meusnier. Le premier compare deux courbes d'une même surface qui passent par le même point M et y ont la même tangente et le même plan osculateur. Le second relie une courbe à une section normale par projection orthogonale. La présence d'une section normale indique que l'on emploie le second.

Des hypothèses indissociables. Dans le premier théorème, être tracées sur la même surface ne suffit pas. Les deux courbes doivent être tangentes au même point M et partager leur plan osculateur en ce point. Si l'une de ces conditions manque, la conclusion sur le centre de courbure ne vient pas de cet énoncé.

Une projection précisément définie. Dans le second théorème, on ne choisit ni une coupe quelconque de S ni un plan arbitraire. Il faut la section normale contenant la tangente à C en M, puis la projection orthogonale de son centre de courbure sur le plan osculateur de C en M.

Une unicité limitée à une classe. Le caténoïde est unique parmi les surfaces minimales de révolution. L'hélicoïde est unique parmi les surfaces minimales réglées non planes. Omettre ces domaines ferait croire, à tort, que l'un ou l'autre est l'unique surface minimale sans restriction.

théorème de Meusnier — Pour approfondir la relation précise entre la courbure d'une courbe tracée et celle d'une section normale.

surface minimale — Pour replacer le caténoïde et l'hélicoïde dans la famille géométrique où Meusnier les distingue.

caténoïde — Pour étudier la surface minimale de révolution identifiée par Meusnier.

hélicoïde — Pour examiner la surface minimale réglée non plane associée à son travail.