AnalyseNotion · Glossaire
Ligne de niveau
Une ligne de niveau (ou courbe de niveau) d'une fonction à deux variables f est l'ensemble des points (x, y) tels que f(x, y) est égal à une constante donnée c. Géométriquement, c'est la courbe d'intersection de la surface représentant le graphe de f avec le plan horizontal d'équation z = c. Les lignes de niveau permettent de représenter graphiquement une fonction de deux variables dans le plan et sont largement utilisées en cartographie (courbes d'altitude), en météorologie (isobares) et en thermodynamique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’équation f(x,y)=c à l’intersection d’un graphe avec un plan horizontal.
- Construire et contrôler la ligne de niveau 4 de la fonction x²+y².
- Reconnaître les niveaux réguliers, ponctuels ou vides et interpréter l’espacement des tracés.
En clair
Imaginez une colline découpée par des plans horizontaux, comme un gâteau coupé en tranches. Le bord de chaque tranche réunit tous les points situés à la même altitude. Reporté à plat, ce bord devient une ligne de niveau.
Le même principe s’applique à toute valeur associée à une position : pression, température ou résultat d’une fonction. Suivre une ligne revient à se déplacer sans changer cette valeur. À intervalle de niveaux régulier et à échelle fixe, des lignes serrées signalent une variation rapide dans la direction qui les traverse.
Définition
Soit f une fonction qui associe un nombre réel à chaque point (x, y) de son domaine dans le plan. Pour une constante réelle c, la ligne de niveau c est l’ensemble des points du domaine où la fonction vaut c. Elle s’écrit . « Courbe de niveau » est un synonyme usuel lorsque cet ensemble a effectivement la forme d’une ou de plusieurs courbes.
Le graphe de f est la surface formée des points (x, y, z) tels que z = f(x, y). Le plan horizontal de hauteur c a pour équation z = c. Leur intersection, projetée sur le plan des coordonnées x et y, donne exactement la ligne de niveau c. Cette représentation remplace ainsi une surface en trois dimensions par une famille de tracés dans le plan.
Une valeur de c peut produire plusieurs courbes séparées, un point isolé ou aucun point. Lorsque f est continûment différentiable près d’un point et que son gradient n’y est pas nul, la ligne est localement régulière et le gradient lui est perpendiculaire. Cette propriété explique pourquoi la variation la plus rapide traverse les lignes au lieu de les suivre.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie par f(x, y) = x² + y². On cherche sa ligne de niveau pour la valeur c = 4.
Données : la fonction f ; le niveau 4 ; les coordonnées réelles x et y ; quatre points de contrôle (2, 0), (−2, 0), (0, 2) et (0, −2).
Données : la fonction f ; le niveau 4 ; les coordonnées réelles x et y ; quatre points de contrôle (2, 0), (−2, 0), (0, 2) et (0, −2).
1. Remplaçons la valeur de f par le niveau demandé : .
2. Cette équation décrit le cercle de centre (0, 0) et de rayon 2, car 4 = 2². La ligne cherchée est donc ce cercle entier, et non le disque qu’il délimite.
3. Vérifions un point : pour (2, 0), f(2, 0) = 2² + 0² = 4. Le même calcul donne 4 pour les trois autres points de contrôle.
Le résultat est une ligne fermée de rayon 2, sans unité imposée. Comme contrôle refaisable, le point (1, 1) n’y appartient pas : f(1, 1) = 2, et non 4.
En pratique
Sur une carte topographique, une courbe d’altitude relie les lieux situés à une même hauteur. Elle est préférable à une vue en relief lorsqu’il faut lire une altitude précise sur une carte plane. À intervalle d’altitude régulier et à échelle fixe, l’écart entre courbes renseigne sur la rapidité du changement d’altitude.
En météorologie, une isobare relie les points de même pression. Le tracé par niveaux permet de repérer des zones de pression et leurs transitions sans devoir afficher une valeur en chaque point. Une carte colorée convient mieux si l’objectif principal est de voir des plages de valeurs plutôt que leurs frontières exactes.
En thermodynamique, on peut fixer une grandeur comme la température et examiner les états qui la conservent. Une ligne de niveau convient lorsque deux paramètres varient ; si trois paramètres indépendants sont nécessaires, l’ensemble de niveau devient généralement une surface plutôt qu’une ligne.
À ne pas confondre
Le graphe de la fonction. Le graphe de f contient des points (x, y, f(x, y)) dans l’espace, tandis qu’une ligne de niveau contient des points (x, y) du plan pour une valeur c fixée. Pour f(x, y) = x² + y², le graphe est un paraboloïde ; son niveau 4 est seulement le cercle x² + y² = 4.
Une ligne de plus grande variation. Sur une ligne de niveau, la valeur de f reste constante. Une direction de variation maximale est au contraire donnée par le gradient lorsqu’il est non nul ; elle coupe localement la ligne à angle droit. Suivre le cercle de niveau 4 ne fait donc ni monter ni descendre la valeur x² + y².
Limites et pièges
Le niveau peut être vide. Pour f(x, y) = x² + y², aucun point réel ne vérifie f(x, y) = −1. Le symptôme est une équation sans solution dans le domaine étudié ; il faut alors déclarer l’ensemble vide plutôt que tracer une courbe.
Le niveau n’est pas toujours une courbe. Pour la même fonction, le seuil c = 0 donne uniquement le point (0, 0), car une somme de deux carrés réels est nulle seulement lorsque les deux carrés le sont. Il faut parler d’ensemble de niveau si la forme obtenue est dégénérée.
Un tracé ne contient qu’un choix de niveaux. Deux lignes associées à des valeurs distinctes ne peuvent pas partager un même point, mais une carte n’affiche généralement pas toutes les valeurs possibles. Pour estimer une valeur entre deux courbes, il faut tenir compte de l’intervalle des niveaux et éviter de lire l’interpolation comme une mesure exacte.
Pour aller plus loin
Dérivée partielle — Elle montre comment mesurer séparément les variations selon x et selon y, avant de les réunir dans le gradient.
Méthode du gradient : skier pour minimiser — Cet article prolonge la perpendicularité aux lignes de niveau vers la recherche d’un minimum.
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