AnalyseNotion · Glossaire
Prolongement analytique (principe du)
Le principe du prolongement analytique affirme que si deux fonctions holomorphes définies sur un domaine connexe coïncident sur un ensemble ayant un point d'accumulation dans ce domaine, alors elles sont identiques sur tout le domaine. Ce principe implique qu'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par ses valeurs sur une suite de points distincts de son domaine qui converge vers un point intérieur à ce domaine. Il permet d'étendre une fonction holomorphe à un domaine plus grand de façon unique lorsque cela est possible.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer l'existence d'un prolongement de son unicité.
- Refaire le prolongement de la série géométrique vers 1/(1 − z).
- Vérifier les hypothèses de connexité et de point d'accumulation intérieur.
- Reconnaître les obstacles dus aux singularités et à la dépendance au chemin.
En clair
Une série entière décrit d'abord une fonction à l'intérieur d'un disque. Pourtant, la fonction ainsi reconnue peut parfois continuer bien au-delà : la série géométrique donne 1/(1 − z) tant que |z| < 1, tandis que cette fraction garde un sens pour tout nombre complexe z différent de 1.
Ce passage est un prolongement analytique. Il n'est pas choisi au hasard : dès que deux fonctions holomorphes coïncident sur assez de points rapprochés, leur accord se propage dans tout domaine connexe commun.
Définition
Soit D un domaine, c'est-à-dire un ouvert connexe du plan complexe. Soient f et g deux fonctions holomorphes sur D. Le principe d'identité affirme que, si l'ensemble des points où f et g prennent la même valeur possède un point d'accumulation appartenant à D, alors les deux fonctions sont égales sur D : . Pour utiliser une suite, il faut donc une suite de points distincts de D qui converge vers un point de D.
Un prolongement analytique de f vers un domaine plus grand Ω contenant D est une fonction holomorphe F sur Ω dont la restriction à D vaut f : . S'il existe, ce prolongement est unique sur tout domaine connexe commun, car deux candidats coïncident déjà sur l'ouvert D. Le principe assure donc l'unicité, pas l'existence : une singularité peut empêcher tout agrandissement à travers certains points.
Un exemple, pas à pas
On part de la série géométrique. Les données sont la variable complexe z, la fonction , son disque de convergence |z| < 1 et la fonction candidate .
1. Pour |z| < 1, la somme partielle d'ordre N vérifie . Comme zN+1 tend vers 0, la série converge vers g(z).
2. La fonction g est holomorphe sur le domaine Ω = ℂ privé du point 1. Elle coïncide avec f dans le disque |z| < 1 : g est donc un prolongement analytique de f. Le disque initial et le point qui bloque l'extension apparaissent dans la même géométrie complexe.
3. Si une autre fonction holomorphe G sur Ω prolongeait f, alors G et g coïncideraient sur le disque initial. Le domaine Ω étant connexe, le principe d'identité imposerait .
4. Un contrôle se fait en z = 1/2 : la série vaut 1 + 1/2 + 1/4 + ⋯ = 2, et g(1/2) = 2. En revanche, z = 1 est exclu, car le dénominateur s'y annule.
En pratique
Pour étendre une fonction donnée par une série entière, on cherche une expression holomorphe qui lui est égale dans son disque de convergence. Si une singularité ferme le passage, on conserve le domaine qui l'exclut au lieu de déclarer une extension à travers ce point.
Pour démontrer une identité entre fonctions holomorphes, il suffit parfois de vérifier leur accord sur un petit ouvert, ou sur des points distincts qui s'accumulent à l'intérieur du domaine. Si le domaine n'est pas connexe, chaque composante doit être traitée séparément.
Pour poursuivre une fonction de proche en proche, on utilise des disques qui se recouvrent et des expressions compatibles sur chaque intersection. Lorsque deux chemins produisent des valeurs différentes, une fonction unique sur le domaine envisagé n'a pas été obtenue ; une surface de Riemann peut alors fournir le cadre adapté.
À ne pas confondre
Principe d'identité et prolongement analytique. Le premier est un théorème d'unicité : deux fonctions holomorphes déjà définies sur un même domaine connexe sont comparées. Le second est une construction vers un domaine plus grand. Une singularité peut empêcher la construction, même si l'unicité de tout prolongement éventuel reste acquise.
Prolongement d'une fonction et convergence de sa série initiale. La série géométrique diverge pour z = 2, alors que son prolongement g y vaut −1. Cette valeur appartient à la fonction prolongée ; elle n'est pas la somme ordinaire de la série divergente en ce point.
Prolongement analytique et prolongement continu. Un prolongement analytique doit rester holomorphe, exigence plus forte que la seule continuité. Pour trancher, on vérifie la dérivabilité complexe dans le domaine agrandi, pas seulement le raccord des valeurs au bord.
Limites et pièges
Suite mal choisie. Une suite constante converge, mais ne détermine pas une fonction holomorphe. Il faut des points distincts dont le point d'accumulation se trouve à l'intérieur du domaine ; connaître une seule valeur répétée ne suffit pas.
Accumulation sur le bord. Les fonctions z ↦ 0 et z ↦ sin(π/(1 − z)) coïncident aux points z = 1 − 1/n pour tout entier n ≥ 2. Ces points s'accumulent en 1, hors du disque unité ouvert ; le principe d'identité ne permet donc pas de conclure qu'elles y sont identiques.
Domaine non connexe. Deux fonctions peuvent coïncider sur une composante et différer sur une autre. Le symptôme est l'absence de chemin restant dans le domaine entre les deux zones ; le principe doit alors être appliqué composante par composante.
Obstacle ou dépendance au chemin. Une singularité non amovible interdit de prolonger à travers le point concerné. De plus, une continuation menée autour d'un obstacle peut revenir avec une autre valeur. Dans ce cas, il faut restreindre le domaine ou travailler sur une surface de Riemann adaptée.
Pour aller plus loin
fonction holomorphe — Revoir la régularité complexe exigée sur chaque domaine de départ et de prolongement.
série entière — Relier une définition locale par coefficients à son disque de convergence.
singularité — Identifier les points qui font obstacle à l'extension holomorphe.
Surface de Riemann — Découvrir le cadre qui rend univoques certaines continuations dépendant du chemin.
Aux origines de l’analyse complexe — Situer le prolongement analytique dans l'histoire plus large des fonctions complexes.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres