AnalyseNotion · Glossaire
Zéros isolés (principe des)
Le principe des zéros isolés affirme que les zéros d'une fonction analytique non identiquement nulle sont des points isolés, c'est-à-dire que chaque zéro possède un voisinage dans lequel il est le seul zéro. Ce principe est une conséquence directe du développement en série de Taylor des fonctions holomorphes. Il implique notamment que si deux fonctions holomorphes sur un même domaine connexe coïncident sur un ensemble ayant un point d'accumulation intérieur à ce domaine, elles sont identiques sur ce domaine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses précises du principe des zéros isolés.
- Relier l'isolation d'un zéro au premier terme non nul du développement de Taylor.
- Vérifier le mécanisme sur un zéro double et un zéro simple.
- Reconnaître les limites liées au bord, à la connexité et à la fonction nulle.
En clair
Imaginez les points où une courbe complexe prend exactement la valeur zéro. Autour de chacun de ces points, on peut tracer un disque assez petit qui ne contient aucun autre zéro. Les zéros peuvent être nombreux, mais ils ne s'entassent donc pas à l'intérieur du domaine.
Cette séparation vient de la rigidité des fonctions holomorphes. Si leurs zéros s'accumulaient en un point intérieur, la fonction entière serait forcée de s'annuler sur toute la composante concernée.
Définition
Soit une fonction f holomorphe sur un domaine Ω du plan complexe, c'est-à-dire un ouvert connexe. Un point a de Ω est un zéro lorsque f(a) = 0. Si f n'est pas identiquement nulle, il existe un rayon strictement positif tel que a soit le seul zéro de f dans le disque de centre a et de ce rayon. Le zéro a est alors isolé.
Le développement de Taylor explique cette propriété. Si m est le rang du premier coefficient non nul au voisinage de a, alors m est un entier au moins égal à 1 et l'on peut écrire , où g est holomorphe et g(a) ≠ 0. Par continuité, g reste non nulle dans un disque assez petit. Le seul facteur qui puisse alors s'annuler dans ce disque est (z − a)m, uniquement en a. L'entier m est la multiplicité du zéro.
Le théorème d'identité en découle. Si deux fonctions holomorphes sur un même domaine coïncident sur un ensemble possédant un point d'accumulation intérieur au domaine, leur différence a des zéros non isolés. Cette différence est donc identiquement nulle, et les deux fonctions coïncident partout sur ce domaine. Sur un ouvert non connexe, la conclusion ne vaut que sur la composante contenant le point d'accumulation.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction polynomiale f définie sur le plan complexe par . Les données sont ses deux facteurs, les points candidats 0 et 1, et la distance 1 qui sépare ces points.
1. Le produit s'annule exactement lorsqu'un facteur s'annule. Les seuls zéros sont donc 0 et 1.
2. Au voisinage de 0, le facteur z² montre que 0 est un zéro de multiplicité 2, car le second facteur vaut −1 en 0.
3. Au voisinage de 1, le facteur z − 1 apparaît une seule fois et z² vaut 1. Le zéro 1 est donc simple.
4. Les disques ouverts de rayon 0,4 centrés en 0 et en 1 sont disjoints, puisque la somme de leurs rayons vaut 0,8, strictement moins que la distance 1. Chacun contient ainsi un seul zéro de f.
Le contrôle se refait en substituant tout point z : f(z) = 0 impose z = 0 ou z = 1. Dans le plan complexe, les deux disques de rayon 0,4 rendent visible cette isolation, tandis que les étiquettes distinguent les multiplicités 2 et 1.
En pratique
Pour étudier les solutions complexes d'une équation f(z) = 0, le principe garantit qu'une solution d'une fonction holomorphe non nulle ne peut pas appartenir à un amas intérieur. Quand une factorisation explicite est disponible, elle reste préférable pour localiser et compter les zéros.
Pour prouver que deux fonctions holomorphes sont égales, il suffit parfois de vérifier leur accord sur une suite de points ayant une limite à l'intérieur du domaine. Une vérification point par point sur tout le domaine devient inutile; sans point d'accumulation intérieur, il faut employer un autre argument.
Lors d'un prolongement analytique, le même raisonnement assure l'unicité. Deux prolongements holomorphes définis sur une même composante connexe du domaine de prolongement et qui coïncident sur un ensemble ayant un point d'accumulation intérieur à cette composante — en particulier sur une zone ouverte commune — ne peuvent diverger plus loin dans cette composante. Si les régions considérées sont disjointes, cette conclusion ne s'applique pas.
À ne pas confondre
Zéro isolé et zéro simple. Un zéro simple a une multiplicité égale à 1; un zéro isolé peut avoir toute multiplicité finie. Pour f(z) = z²(z − 1), le zéro 0 est isolé mais double, tandis que le zéro 1 est isolé et simple.
Point isolé de l'ensemble des zéros et point isolé du domaine. Le principe isole un zéro parmi les autres zéros, pas parmi les points où la fonction est définie. Dans l'exemple, tout disque centré en 0 contient une infinité de points du domaine, mais un disque assez petit ne contient aucun autre zéro.
Limites et pièges
Fonction identiquement nulle. Tous les points du domaine sont alors des zéros, donc aucun zéro n'est isolé. Il faut vérifier l'hypothèse « non identiquement nulle » avant d'appliquer le principe.
Accumulation sur le bord. Une infinité de zéros peut tendre vers un point situé hors du domaine ou sur son bord sans contradiction. Le théorème d'identité exige que le point d'accumulation appartienne à l'intérieur du domaine d'holomorphie.
Ouvert non connexe. Une accumulation de zéros force l'annulation sur la composante connexe concernée, pas automatiquement sur les autres. Il faut raisonner composante par composante ou supposer dès le départ que le domaine est connexe.
Régularité insuffisante. Une fonction infiniment dérivable de variable réelle peut avoir des zéros qui s'accumulent sans être identiquement nulle. La conclusion repose sur l'analyticité complexe et sur le développement de Taylor convergent, pas sur la seule dérivabilité.
Pour aller plus loin
Le développement en série de Taylor montre comment le premier coefficient non nul détermine localement la multiplicité et l'isolation d'un zéro.
La notion de Point d'accumulation précise la condition topologique qui transforme une infinité d'égalités locales en identité sur un domaine.
Le Prolongement analytique (principe du) utilise cette rigidité pour expliquer pourquoi une extension holomorphe, lorsqu'elle existe sur un domaine connexe, est unique.
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