composante connexe d'un espace

Imaginez un dessin formé de trois disques pleins. Deux disques se touchent en un point ; le troisième reste séparé. Depuis un point du premier disque, on peut rester dans un seul morceau connexe et atteindre le second en passant par leur contact. En revanche, ce morceau ne peut pas englober le disque isolé sans perdre sa connexité.

La composante connexe d’un point est précisément le plus grand morceau d’un seul tenant qui le contient. Dans cet exemple, les deux disques tangents forment une composante et le disque isolé en forme une autre.

Soit X un espace topologique et soit a un point de X. Une partie de X est dite connexe lorsqu’il n’existe pas deux ouverts relatifs non vides et disjoints dont la réunion est exactement cette partie. La composante connexe de a, notée C(a), est la réunion de toutes les parties connexes de X qui contiennent a :

Toutes les parties réunies ont le point a en commun ; leur réunion est donc connexe. Ainsi, C(a) contient toute partie connexe de X qui contient a : elle est maximale pour l’inclusion, et cette maximalité la rend unique. Sa fermeture est encore connexe et contient C(a). Par maximalité, cette fermeture est égale à C(a), donc toute composante connexe est fermée dans X.

Si deux composantes ont un point commun, leur réunion est connexe ; la maximalité impose alors qu’elles soient égales. Les composantes sont donc deux à deux disjointes et couvrent X : elles forment une partition. L’espace X est connexe exactement lorsque cette partition ne comporte qu’une seule composante, X lui-même.

Quatre éléments interviennent. L’espace topologique X fixe les ouverts et donc le sens du mot « connexe ». Le point a sélectionne le morceau recherché. Les parties connexes contenant a sont les candidats que l’on peut réunir, car leur point commun garantit que leur réunion reste connexe. La maximalité pour l’inclusion arrête l’agrandissement : aucune partie connexe plus grande de X ne contient encore la composante.

La composante dépend donc à la fois de l’ensemble sous-jacent et de sa topologie. Changer seulement la topologie peut changer les parties connexes, donc la partition obtenue. En revanche, une couleur, un tracé ou la distance apparente entre deux zones ne définit rien à lui seul : seule la topologie induite sur les sous-ensembles décide de leur connexité.

Dans le plan usuel, considérons l’espace X formé de trois disques fermés. Le disque D₁ a pour centre (−2, 0) et rayon 1 ; D₂ a pour centre (0, 0) et rayon 1 ; D₃ a pour centre (3, 0) et rayon 3/4. Le dessin rend visibles les deux composantes que le raisonnement va établir.

1. Les disques D₁ et D₂ se rencontrent uniquement au point (−1, 0), car la distance entre leurs centres vaut 2, somme de leurs rayons. Leur union est connexe puisqu’ils sont connexes et ont un point commun.

2. Le point le plus à droite de D₂ a pour abscisse 1. Le point le plus à gauche de D₃ a pour abscisse 9/4. Il reste donc entre eux un intervalle horizontal de longueur 9/4 − 1 = 5/4, qui sépare D₃ des deux autres disques.

3. Posons C₁ = D₁ ∪ D₂ et C₂ = D₃. Ces deux parties sont connexes, disjointes et leur union vaut X. Elles sont aussi ouvertes et fermées dans X, car chacune est le complémentaire de l’autre.

4. Tout point de D₁ ou D₂ a donc C₁ pour composante connexe, tandis que tout point de D₃ a C₂ pour composante. Le contrôle est immédiat : les deux composantes sont disjointes et leur réunion redonne exactement X.

Pour décider si un espace est connexe, on peut chercher ses composantes. Une seule composante donne un espace connexe ; au moins deux composantes prouvent qu’il ne l’est pas. Dans l’exemple des trois disques, le point de contact réunit les deux premiers, tandis que le gap ouvert (1, 9/4) sur l’axe, disjoint de X, sépare le troisième.

Pour étudier une application continue, on peut travailler composante par composante. L’image d’une partie connexe est connexe ; l’image de chaque composante de l’espace de départ reste donc contenue dans une composante de l’espace d’arrivée. Ce découpage est préférable à un traitement global lorsque les morceaux se comportent différemment.

Pour construire la partition, on fixe un point, on agrandit autour de lui sans perdre la connexité, puis on recommence avec un point encore non classé. Il faut tester la connexité topologique, et non se fier à une impression visuelle de proximité ou à l’existence supposée d’un chemin.

Une composante connexe est maximale parmi les parties connexes, tandis qu’une partie connexe quelconque peut être strictement plus petite. Dans l’exemple, D₁ est connexe, mais ce n’est pas une composante de X : il est strictement contenu dans la partie connexe D₁ ∪ D₂.

Une composante par arcs réunit les points que l’on peut joindre par un chemin continu. Toute composante par arcs est contenue dans une composante connexe, mais elles ne coïncident pas dans tous les espaces. Il faut donc prouver l’existence de chemins avant de remplacer « connexe » par « connexe par arcs ».

Dans un graphe, une composante connexe est un ensemble maximal de sommets reliés par des chemins d’arêtes. Le vocabulaire se ressemble, mais le test porte sur les arêtes du graphe ; ici, il porte sur la topologie de X.

Fermée ne signifie pas ouverte. Dans l’espace des nombres rationnels ℚ muni de la topologie usuelle induite par ℝ, chaque composante connexe est un singleton. Ces singletons sont fermés, mais aucun n’est ouvert dans ℚ. Il ne faut donc conclure que les composantes sont ouvertes qu’avec une hypothèse supplémentaire, par exemple la connexité locale.

Un contact suffit. Deux parties connexes qui ont au moins un point commun ont une union connexe. Dans l’exemple, le seul point (−1, 0) empêche D₁ et D₂ de former deux composantes distinctes. Compter les formes dessinées conduit donc à une mauvaise partition.

La composante dépend de l’espace ambiant. Un même sous-ensemble peut être une composante dans un espace X, puis cesser d’être maximal lorsque X est inclus dans un espace plus grand qui ajoute une partie connexe attenante. Il faut toujours préciser l’espace dans lequel la maximalité est évaluée.

Une infinité de composantes peut s’accumuler. Elles restent individuellement fermées, mais leur séparation n’impose ni distance positive ni ouverture. Il faut revenir à la définition topologique au lieu de chercher forcément des morceaux visiblement espacés.

La fiche connexité - topologie - approfondit la propriété qui sert à construire chaque composante maximale.

La fiche connexité par arcs précise quand deux points peuvent être reliés par un chemin continu.

La fiche espace métrique connexe replace la connexité dans un cadre où une distance est disponible.