Localement connexe

Imaginez un espace où l'on peut zoomer autour de chaque point. Il est localement connexe lorsque, quel que soit le point choisi, on trouve toujours autour de lui une petite zone d'un seul morceau. Cette zone peut être choisie à l'intérieur de n'importe quelle zone qui contenait déjà le point. L'espace entier peut pourtant comporter plusieurs morceaux séparés : la propriété décrit ce qui se passe près de chaque point, pas la forme globale de l'espace.

Soit X un espace topologique et soit x un de ses points. Dire que X est localement connexe signifie que, dans chaque voisinage de x, il existe un voisinage de x qui est connexe. Autrement dit, les voisinages connexes de x forment une base de voisinages : ils permettent d'affiner toute information locale autour de x sans introduire de séparation. Cette condition doit être vérifiée pour chaque point de X.

La connexité locale concerne donc les voisinages et ne demande pas que X soit lui-même connexe. Un espace peut avoir plusieurs composantes connexes, c'est-à-dire plusieurs morceaux maximaux qui ne se séparent pas, tout en étant localement connexe. Dans ce cas, chaque composante connexe est ouverte dans X, propriété qui rend possible une étude séparée des morceaux.

Considérons la réunion de deux intervalles ouverts disjoints, munie de la topologie induite par la topologie usuelle de R, notée $X=(-2,-1)\cup (1,3)X=(-2,-1)\backslash cup(1,3)$. Prenons un point x situé entre 1 et 3 et un voisinage arbitraire V de x dans X. Par la topologie induite, V contient les points de X assez proches de x ; on peut donc choisir un petit intervalle ouvert centré en x, de rayon assez petit pour être contenu dans V et rester dans (1,3). Cet intervalle est connexe et fournit le voisinage connexe requis.

Le même raisonnement vaut pour un point situé entre -2 et -1 : on choisit un petit intervalle qui reste dans le premier morceau. Chaque point possède donc une base de voisinages connexes. En revanche, X possède deux composantes connexes distinctes, les deux intervalles, et n'est pas connexe.

La figure montre les deux morceaux sur une même droite graduée. Les extrémités sont exclues, conformément au fait que les intervalles sont ouverts.

Pour reconnaître la connexité locale d'un espace, on se place point par point. On observe un voisinage quelconque du point, puis on cherche à l'intérieur un voisinage connexe qui contient encore ce point. Si cette recherche réussit partout, l'espace est localement connexe.

Dans une situation composée de plusieurs morceaux, cette propriété autorise une analyse morceau par morceau. Il faut toutefois vérifier séparément la connexité globale : le fait que chaque point ait de petits voisinages connexes ne recolle pas des morceaux disjoints.

La connexité globale et la connexité locale ne posent pas la même question. La première demande que l'espace entier forme un seul morceau au sens topologique. La seconde demande seulement que chaque point dispose de voisinages connexes assez fins. Ainsi, l'union de deux intervalles disjoints est localement connexe sans être connexe.

Il ne faut pas non plus confondre un voisinage connexe avec l'espace tout entier. Un voisinage connexe est une partie choisie autour d'un point, à l'intérieur d'un voisinage donné. La définition exige une telle possibilité à chaque échelle locale, et non l'existence d'un unique voisinage valable pour tous les points.

Le mot « voisinage » dépend de la topologie choisie. Une même collection de points peut donc être localement connexe pour une topologie et ne pas l'être pour une autre. La propriété ne se décide pas à partir du seul dessin d'un espace : il faut savoir quelles parties sont ses voisinages.

Un piège fréquent consiste à tester seulement la connexité de l'espace entier. Ce test ne suffit pas pour établir la connexité locale, qui impose une vérification autour de chaque point et dans chaque voisinage. Inversement, la connexité locale ne supprime pas la possibilité de plusieurs composantes connexes.

La conclusion sur les composantes connexes est précise : dans un espace localement connexe, elles sont ouvertes dans l'espace ambiant. Elle ne signifie pas que toutes les parties connexes sont ouvertes, ni que l'espace possède une seule composante.

La connexité locale fournit un langage pour passer d'une observation à petite échelle à l'organisation des composantes connexes. Soit C la composante connexe d'un point x et V un voisinage de x. La définition fournit dans V un voisinage connexe U de x ; comme U rencontre C en x et que C est la partie connexe maximale contenant x, U est contenu dans C. Ainsi, C contient un voisinage de chacun de ses points, ce qui montre que C est ouverte dans X. On peut ensuite comparer cette notion à d'autres propriétés locales et étudier quelles opérations sur les espaces préservent cette structure.