Invariant

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille. Vous pouvez déplacer ou tourner la feuille : les sommets changent de place, mais les trois longueurs du triangle ne changent pas. Ces longueurs sont donc invariantes pour ces mouvements.

Le mot « invariant » n'a toutefois de sens qu'après avoir précisé les transformations autorisées. Un agrandissement conserve les angles, mais pas les longueurs. Une même caractéristique peut donc être invariante dans un cadre et ne plus l'être dans un autre.

On considère une collection d'objets mathématiques et une classe de transformations autorisées. Une information, notée I, est un invariant si elle prend la même valeur avant et après chacune de ces transformations. Pour tout objet x et toute transformation autorisée T, la condition s'écrit : $I(T(x))=I(x)I(T(x))=I(x)$. L'information I peut être un nombre, une propriété ou une structure.

La classe de transformations fait partie de la définition. En topologie, la connexité et la compacité sont préservées par les transformations qui établissent une équivalence topologique. En algèbre, deux groupes isomorphes ont le même ordre lorsque cet ordre est défini comme leur nombre d'éléments. En géométrie différentielle, la courbure gaussienne d'une surface est préservée par les isométries.

Un invariant sert surtout à exclure une équivalence : si deux objets ont des valeurs différentes, aucune transformation de la classe choisie ne relie l'un à l'autre. La réciproque n'est pas automatique. Deux objets peuvent partager un invariant sans être équivalents ; il faut alors chercher une information plus fine ou plusieurs invariants.

Prenons le triangle de sommets A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). La transformation T effectue un quart de tour, puis une translation. Elle est définie par : $T(x,y)=(-y+8,x+1)T(x,y)=(-y+8,x+1)$. Nous vérifions que les longueurs sont invariantes.

1. Les images des sommets sont A′(8 ; 1), B′(8 ; 5) et C′(5 ; 1).

2. Avant la transformation, les côtés mesurent AB = 4, AC = 3 et BC = √(4² + 3²) = 5.

3. Après la transformation, les mêmes calculs donnent A′B′ = 4, A′C′ = 3 et B′C′ = 5.

4. Le triplet ordonné des longueurs vaut donc (4, 3, 5) pour les deux triangles. Ce triplet est invariant sous la transformation T.

Le contrôle est refaisable avec le théorème de Pythagore : 3² + 4² = 5² dans les deux dessins. La figure matérialise le déplacement des sommets et l'égalité des trois longueurs.

En géométrie, on choisit d'abord les transformations admises. Pour des déplacements rigides, les distances constituent un test direct. Si une longueur diffère, les deux figures ne peuvent pas coïncider par isométrie.

En topologie, les longueurs ne conviennent plus, car les déformations autorisées peuvent les modifier. On examine plutôt la connexité ou la compacité, qui restent pertinentes dans ce cadre.

En algèbre, l'ordre d'un groupe fournit un premier filtre face à un isomorphisme supposé. Des ordres différents suffisent à conclure que les groupes ne sont pas isomorphes ; des ordres égaux imposent de poursuivre l'analyse.

Invariant et point fixe. Un invariant conserve une information, tandis qu'un point fixe est un objet laissé lui-même inchangé par une transformation. Dans l'exemple du triangle, chaque sommet se déplace, bien que les longueurs soient conservées.

Invariant et objet invariant. Dire qu'une propriété est invariante signifie que sa valeur est préservée. Dire qu'un ensemble est invariant au sens usuel signifie que la transformation l'envoie exactement sur lui-même ; si elle envoie seulement ses éléments dans cet ensemble, on parle d'invariance vers l'avant. Le critère porte donc sur une valeur dans le premier cas et dans l’illustration des éléments dans le second.

Transformation mal précisée. Une longueur est conservée par une isométrie, mais doublée par un agrandissement de rapport 2. Lorsqu'une prétendue invariance échoue, il faut vérifier que la transformation appartient bien à la classe annoncée.

Invariant trop grossier. Deux groupes finis peuvent avoir le même nombre d'éléments sans être isomorphes. L'égalité de l'ordre ne suffit donc pas à conclure ; elle indique seulement que ce premier obstacle a disparu.

Propriété locale ou globale. Une information calculée près d'un point ne décrit pas nécessairement l'objet entier. Il faut préciser si l'invariant concerne chaque point, une composante ou la structure globale avant de comparer deux objets.

La notion connexité - topologie - montre comment une propriété globale peut survivre aux déformations continues.

La notion compacité - topologie - présente un autre invariant topologique et les critères qui permettent de le reconnaître.

Isomorphisme (théorème d') approfondit le cadre algébrique dans lequel des structures sont comparées en préservant leurs opérations.