Pied

Imaginez un point placé au-dessus d'une droite. On trace depuis ce point le chemin rectiligne qui rencontre la droite à angle droit. Le point d'arrivée sur la droite est le pied de la perpendiculaire.

Dans un triangle, le même geste part d'un sommet et vise le côté opposé, ou la droite qui porte ce côté. Le segment obtenu est une hauteur ; son point d'arrivée est le pied de cette hauteur.

Soit un point A et une droite d dans un plan euclidien. La perpendiculaire à d passant par A rencontre d en un unique point H. Ce point H est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur d. Il est aussi le projeté orthogonal de A sur d. Si A appartient déjà à d, le pied est A lui-même.

Dans un triangle ABC, la hauteur issue du sommet A est la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC). Son pied H_A est l'intersection de cette hauteur avec (BC). Le pied peut appartenir au segment [BC], coïncider avec B ou C, ou se trouver hors du segment. Il reste dans tous les cas sur la droite qui porte le côté opposé.

Les trois pieds H_A, H_B et H_C des hauteurs d'un triangle non rectangle et non dégénéré sont les sommets de son triangle orthique. Dans un espace euclidien de dimension quelconque, la même définition s'étend à un hyperplan : le pied d'un point est son unique projeté orthogonal sur cet hyperplan.

Dans un repère orthonormé, considérons le triangle ABC avec les données suivantes :
A a pour coordonnées (2 ; 4).
B a pour coordonnées (0 ; 0).
C a pour coordonnées (6 ; 0).
Le côté [BC] est donc porté par l'axe horizontal.

1. La droite (BC) est horizontale, puisque B et C ont la même ordonnée 0. Une droite qui lui est perpendiculaire est verticale.

2. La verticale passant par A conserve l'abscisse 2. Elle rencontre la droite (BC), d'ordonnée 0, au point H de coordonnées (2 ; 0).

3. Le vecteur allant de A vers H est vertical, tandis que celui allant de B vers C est horizontal. Leur produit scalaire vérifie :

4. Un produit scalaire nul confirme la perpendicularité. Ainsi, H(2 ; 0) est bien le pied de la hauteur issue de A. La longueur AH vaut 4 unités, ce qui fournit un second contrôle direct dans ce repère orthonormé. Le tracé du triangle rend visibles l'alignement de B, H et C ainsi que l'angle droit en H.

Pour construire une hauteur au compas et à la règle, on trace par le sommet la perpendiculaire à la droite du côté opposé. Son intersection avec cette droite donne le pied. Si le triangle est obtus, il faut prolonger le côté plutôt que chercher l'intersection sur le seul segment.

Dans un repère, on peut déterminer le pied par les équations de la droite support et de sa perpendiculaire. Une vérification par produit scalaire est préférable lorsque les directions sont données par des vecteurs : le résultat doit être nul.

Pour mesurer la distance d'un point à une droite ou à un hyperplan, on utilise le segment qui joint le point à son pied. Une distance oblique serait plus longue ; le segment perpendiculaire fournit la distance minimale dans le cadre euclidien.

Le pied d'une hauteur n'est pas l'orthocentre. Le pied est situé sur la droite d'un côté opposé, tandis que l'orthocentre est le point de concours des trois hauteurs. Dans l'exemple ABC, H(2 ; 0) est un pied ; il ne devient pas pour autant le point commun aux trois hauteurs.

Le pied n'est pas nécessairement le milieu du côté. Le milieu partage le segment en deux longueurs égales ; le pied se reconnaît à l'angle droit avec la hauteur. Dans l'exemple, le milieu de [BC] est (3 ; 0), alors que le pied H est (2 ; 0).

Une hauteur est une droite ou, selon le contexte, le segment issu d'un sommet ; son pied est seulement le point où cette perpendiculaire rencontre la droite du côté opposé.

Dans un triangle obtus, certains pieds sont extérieurs aux côtés. Le symptôme est l'absence d'intersection entre la hauteur et le segment opposé. Il faut prolonger le côté en une droite : le pied appartient à cette droite support.

Dans un triangle rectangle, deux pieds coïncident avec le sommet de l'angle droit. Les trois pieds ne forment alors pas un triangle orthique non dégénéré. Il faut accepter cette coïncidence plutôt que chercher trois nouveaux points distincts.

Si les trois sommets sont alignés, le « triangle » est dégénéré et la construction du triangle orthique perd son sens habituel. Il faut d'abord vérifier que les sommets ne sont pas colinéaires avant d'invoquer les trois hauteurs d'un triangle.

L'unicité du pied sur un hyperplan repose sur la géométrie euclidienne. Dans un cadre dépourvu de produit scalaire, le mot « orthogonal » n'a pas automatiquement le même sens. Il faut préciser la structure géométrique utilisée avant de parler de projection orthogonale.

La fiche projection replace le pied dans le mécanisme général qui associe un point à son image sur un sous-espace affine.

La fiche Orthocentre montre comment les trois hauteurs d'un triangle se rencontrent en un même point.

La fiche Hyperplan étend la situation à des espaces euclidiens de dimension supérieure.