problème de Fagnano

Imaginez un triangle dont les trois angles sont inférieurs à 90°. Posez un point sur chacun de ses côtés, puis reliez ces trois points. Le défi consiste à rendre le contour obtenu aussi court que possible.

La meilleure position n'est pas choisie au hasard : chaque point est le pied d'une hauteur du grand triangle. Les trois points forment alors le triangle orthique. Le problème de Fagnano montre que ce petit triangle est l'unique triangle inscrit de périmètre minimal.

Le problème de Fagnano recherche, dans un triangle acutangle donné ABC, le triangle inscrit dont le périmètre est minimal. « Inscrit » signifie ici que les sommets M, N et P appartiennent respectivement aux côtés [BC], [CA] et [AB], chaque côté recevant un sommet. Le triangle ABC est acutangle lorsque ses trois angles sont strictement inférieurs à 90°.

La solution unique est le triangle orthique : ses sommets sont les pieds des hauteurs issues de A, de B et de C. Le pied de la hauteur issue de A appartient à [BC], celui issu de B à [CA], et celui issu de C à [AB]. Les hauteurs du triangle initial sont alors les bissectrices intérieures et extérieures des angles du triangle orthique, selon la hauteur considérée et l'angle observé.

Cette conclusion dépend de l'hypothèse d'acuité. Si un angle, par exemple l'angle A, dépasse 90°, aucun minimum n'est atteint parmi les triangles inscrits non dégénérés : les deux sommets placés sur [CA] et [AB] tendent vers A, tandis que le troisième tend vers le pied de la hauteur issue de A sur [BC]. La valeur 2h_A est alors l'infimum, atteint seulement dans la fermeture si les configurations dégénérées sont autorisées.

Considérons le triangle ABC de coordonnées A(0, 4), B(−3, 0) et C(3, 0). Il est isocèle, avec AB = AC = 5 et BC = 6. Les trois angles sont aigus.

Les données utiles sont les suivantes : le pied D de la hauteur issue de A est D(0, 0) ; les pieds E et F des hauteurs issues de B et de C sont respectivement E(21/25, 72/25) et F(−21/25, 72/25). Pour obtenir E, on impose les deux conditions E appartient à [AC] et BE est perpendiculaire à AC : pour E(x, y), on écrit 4x + 3y = 12 et (E − B)·(C − A) = 0. La résolution donne alors E(21/25, 72/25).

Les longueurs du triangle orthique DEF se calculent ainsi :

Son périmètre vaut donc unités. Le contrôle direct confirme ces valeurs : DE = √((21/25)² + (72/25)²) = 3, et DF = √((21/25)² + (72/25)²) = 3 ; par symétrie, EF = 2 × 21/25 = 42/25.

Pour construire la solution sur une figure, on trace depuis chaque sommet la perpendiculaire au côté opposé. Les trois intersections avec les côtés donnent directement les sommets du triangle orthique.

Pour vérifier une construction à la règle et au compas, on contrôle d'abord les angles droits entre chaque hauteur et son côté support. On additionne ensuite les trois côtés du triangle obtenu.

Pour comparer plusieurs triangles inscrits, le critère pertinent est le périmètre total, et non la seule longueur d'un côté. Dans un triangle acutangle, le triangle orthique fournit la référence minimale.

Le triangle orthique ne doit pas être confondu avec un triangle inscrit quelconque. Le critère testable est la perpendicularité : chacun de ses sommets est le pied d'une hauteur du triangle initial. Trois points placés arbitrairement sur les côtés peuvent former un triangle inscrit, mais ils ne réalisent pas en général le périmètre minimal.

Le problème de Fagnano ne demande pas non plus le triangle de plus grande aire. Dans l'exemple ABC de côtés 5, 5 et 6, la construction à retenir est celle qui minimise DE + EF + FD ; un autre critère d'optimisation pourrait conduire à une autre figure.

Le seuil décisif est 90°. Si les trois angles de ABC sont strictement inférieurs à 90°, le minimum est le triangle orthique, qui est non dégénéré.

Si l'angle A est strictement supérieur à 90°, la situation change. Le symptôme est que la solution annoncée comme un triangle s'aplatit : pour des triangles inscrits non dégénérés, N et P tendent vers A, tandis que M tend vers le pied de la hauteur issue de A sur [BC]. Il n'y a donc pas de minimum atteint dans cette classe ; la valeur 2h_A est l'infimum, atteint seulement dans la fermeture si les configurations dégénérées sont autorisées.

Un angle égal à 90° constitue le cas charnière. Le pied de la hauteur issue de ce sommet est le sommet opposé, et la configuration limite demande une formulation séparée ; on ne doit pas appliquer sans précaution la conclusion réservée au triangle acutangle.

Le problème de Fagnano ouvre sur une idée générale d'optimisation géométrique : une figure qui minimise une longueur apparaît souvent lorsque des contraintes de perpendicularité ou de symétrie organisent ses points. Ici, le triangle orthique transforme une recherche parmi une infinité de triangles inscrits en une construction géométrique vérifiable.

Pour prolonger la construction, on peut étudier d'autres problèmes où une contrainte d'angle droit transforme une optimisation de longueur en construction géométrique vérifiable. Le problème de Fagnano fournit ici un exemple précis de ce passage du calcul d'un périmètre à l'identification des pieds des hauteurs.