hexagone de Catalan

Imaginez un triangle et ses trois hauteurs, chacune rejoignant la droite support d'un côté à angle droit. Sur chaque hauteur, repérez son pied, puis projetez ce point perpendiculairement sur les droites supports des deux autres côtés. Vous obtenez ainsi six points, deux à partir de chaque pied de hauteur ; selon la forme du triangle, un pied ou une projection peut se trouver sur le prolongement d'un côté. La surprise est qu'ils se placent tous sur un seul cercle : cette disposition forme l'hexagone de Catalan. Le cercle commun porte le nom de cercle de Taylor.

Dans un triangle ABC, le pied de la hauteur issue de A est le point D situé sur la droite support de BC, tel que AD soit perpendiculaire à BC ; D appartient au segment BC lorsque c'est le cas. De même, E est le pied de la hauteur issue de B sur la droite support de AC, et F celui de la hauteur issue de C sur la droite support de AB. La construction associe alors D aux projections orthogonales de D sur les droites supports de AB et AC, E à celles de E sur les droites supports de BA et BC, et F à celles de F sur les droites supports de CA et CB. Ces six projections sont les sommets de l'hexagone de Catalan.

La propriété caractéristique est la cocyclicité : les six points appartiennent à un même cercle, appelé cercle de Taylor. Cette construction suppose que le triangle et ses hauteurs soient définis ; dans un triangle non dégénéré, les droites supports portent les projections. Le nom désigne donc une configuration de six points construite à partir des trois hauteurs, et non un hexagone régulier. Elle se rattache à l'orthopôle et aux cercles pédaux, qui sont d'autres objets de la géométrie du triangle.

Considérons le triangle de sommets A(0 ; 6), B(−4 ; 0) et C(5 ; 0), dans un repère orthonormé. Les coordonnées sont exprimées dans la même unité. Les trois pieds de hauteur sont D(0 ; 0), E(80/61 ; 270/61) et F(−16/13 ; 54/13).

La projection de D sur AB est P(−36/13 ; 24/13), et sa projection sur AC est Q(180/61 ; 150/61). La projection de E sur AB est R(−256/793 ; 4374/793), et sa projection sur BC est S(80/61 ; 0). Enfin, la projection de F sur AC est T(320/793 ; 4374/793), et sa projection sur BC est U(−16/13 ; 0).

Chaque point est obtenu en imposant une droite de projection perpendiculaire au côté visé. Les six points P, Q, R, S, T et U vérifient alors la même équation de cercle :

Le contrôle consiste à remplacer les coordonnées de chacun des six points dans cette égalité : chaque membre de gauche vaut exactement zéro. Les six projections sont donc cocycliques, comme l'annonce la propriété de l'hexagone de Catalan.

Pour construire la figure, commencez par tracer un triangle, puis ses trois hauteurs. Marquez les trois pieds sur les côtés, car chacun fournit deux projections et non un seul sommet.

Avec une règle et une équerre, projetez chaque pied perpendiculairement sur les deux côtés qui ne portent pas sa hauteur. Un logiciel de géométrie dynamique constitue une alternative lorsque l'on veut déplacer les sommets et observer la configuration.

Pour vérifier la propriété, cherchez un cercle passant par trois des six points, puis contrôlez les trois autres. Le critère observable est leur appartenance au même cercle, et non la régularité des longueurs ou des angles de l'hexagone.

L'hexagone de Catalan ne se confond pas avec l'orthopôle. Le premier est une configuration de six projections liées aux trois hauteurs ; le second est un point associé à une droite et à un triangle. Pour trancher, comptez les objets construits : six points cocycliques d'un côté, un point de l'autre.

Il ne s'agit pas non plus d'un cercle pédal. Un cercle pédal est un cercle construit à partir de projections orthogonales, tandis que l'hexagone de Catalan désigne les six points eux-mêmes. Dans la configuration étudiée, le cercle qui les contient est précisément appelé cercle de Taylor.

La construction présuppose un triangle non dégénéré : si les trois sommets sont alignés, les hauteurs et leurs pieds ne fournissent plus la configuration attendue. Le symptôme est qu'un côté ou une perpendiculaire ne détermine pas un triangle véritable ; il faut repartir d'un triangle à aire non nulle.

Dans un triangle obtus, un pied de hauteur peut se trouver sur le prolongement d'un côté plutôt qu'entre ses sommets. Il reste défini par la droite support et la perpendicularité ; réduire systématiquement la construction aux seuls segments empêcherait alors de voir certains des six points.

Enfin, une figure mal tracée peut donner l'impression que les six points ne sont pas exactement sur un cercle. Cette erreur vient souvent d'une projection approximative ou d'un dessin trop petit. Il faut construire les perpendiculaires avec une précision suffisante, puis vérifier l'appartenance au cercle par les coordonnées ou par un logiciel de géométrie.

Le cercle de Taylor permet d'approfondir la propriété centrale de l'hexagone : comprendre pourquoi les six projections partagent un même cercle et comment cette configuration s'insère dans la géométrie du triangle.

L'article Le « miracle » de Morley offre un autre exemple de cocyclicité et de constructions remarquables dans un triangle. Cette lecture élargit la comparaison entre plusieurs phénomènes géométriques sans confondre leurs objets.