triangle podaire

Imaginez un point P placé près d'un triangle. Depuis P, abaissez une perpendiculaire vers chacun des trois côtés. Les trois points où ces perpendiculaires arrivent forment un nouveau triangle : le triangle podaire de P.

Si une perpendiculaire tombe au-delà d'un sommet, on prolonge le côté concerné. La forme obtenue dépend donc à la fois du triangle de départ et de la position de P.

Considérons un triangle ABC et un point P distinct des sommets A, B et C. Le point P ne doit pas appartenir au cercle circonscrit à ABC. On appelle P₁ le pied de la perpendiculaire menée de P à la droite (AB), P₂ celui obtenu sur la droite (BC), et P₃ celui obtenu sur la droite (CA). Chaque pied peut se trouver sur le côté correspondant ou sur son prolongement.

Le triangle dont les sommets sont P₁, P₂ et P₃ est le triangle podaire de P relativement à ABC. Les trois pieds dépendent du même point P : cette origine commune et l'orthogonalité des trois projections caractérisent la construction. Le cercle unique passant par P₁, P₂ et P₃ est le cercle podaire de P par rapport à ABC.

En anglais, cette construction se nomme pedal triangle. L'expression française « triangle pédal » désigne au contraire le triangle formé par les pieds de trois céviennes ; son nom anglais est cevian triangle.

La construction réunit cinq éléments. Le triangle ABC fournit trois droites supports : (AB), (BC) et (CA). Le point P fixe l'origine commune des trois projections. Les perpendiculaires issues de P déterminent leurs pieds P₁, P₂ et P₃. Les segments reliant ces pieds dessinent le triangle podaire. Enfin, le cercle passant par les trois pieds est le cercle podaire.

La position de chaque pied dépend simultanément de P et d'un côté du triangle initial. Le cercle dépend ensuite des trois pieds, et non du seul triangle ABC. Les positions de A, B, C et P suffisent à construire l'ensemble ; l'orientation, la couleur et l'échelle du dessin ne font pas partie de la définition.

Prenons un repère orthonormé. Les sommets du triangle sont A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 8), et le point choisi est P(2 ; 2). Les côtés [AB] et [CA] suivent les deux axes ; la droite (BC) a pour équation $4x+3y=244x+3y=24$.

1. La perpendiculaire à (AB) passant par P est verticale : son pied est P₁(2 ; 0). La perpendiculaire à (CA) est horizontale : son pied est P₃(0 ; 2).

2. Un vecteur normal à (BC) est (4 ; 3). Le pied recherché est P₂(18/5 ; 16/5). Les deux contrôles suivants établissent qu'il appartient à (BC) et que PP₂ est perpendiculaire à cette droite :

3. Les trois distances de P aux pieds valent 2 :Le cercle podaire a donc ici pour centre P et pour rayon 2. Cette propriété vient des données choisies ; elle n'est pas vraie pour tout triangle podaire.

Le résultat est le triangle P₁P₂P₃ de sommets (2 ; 0), (18/5 ; 16/5) et (0 ; 2). Pour refaire le contrôle, vérifiez les trois angles droits puis les trois distances à P. La figure géométrique associée rend visibles ces projections et leur cercle commun.

Sur une figure, placez l'équerre contre chacun des côtés et faites passer son bord perpendiculaire par P. Marquez chaque pied avant de les relier. Si des coordonnées sont données, le calcul de projection remplace avantageusement le tracé lorsque la précision numérique compte.

Avant de conclure qu'un pied manque, prolongez les côtés en droites. Ce réflexe est nécessaire dès qu'une perpendiculaire issue de P rencontre le support d'un côté hors du segment dessiné.

Pour contrôler une construction, examinez séparément les trois angles en P₁, P₂ et P₃. Sur papier, utilisez l'équerre ; dans un repère, vérifiez plutôt qu'un vecteur de projection est orthogonal au vecteur directeur du côté correspondant.

Le triangle podaire et le triangle pédal ne répondent pas à la même construction. Dans le premier, trois perpendiculaires partent d'un même point P et rencontrent les côtés de ABC. Dans le second, trois céviennes partent respectivement des sommets A, B et C ; leurs pieds forment le triangle pédal. Le test décisif consiste donc à repérer l'origine des trois droites : un point commun quelconque pour les projections orthogonales, ou les trois sommets pour les céviennes. En anglais, les noms sont respectivement pedal triangle et cevian triangle.

Point sur le cercle circonscrit. Les trois projections deviennent alignées : elles déterminent alors une droite de Simson, pas un triangle non dégénéré ni un cercle podaire unique. Il faut donc traiter cette configuration comme le cas frontière exclu de la définition.

Point égal à un sommet. Si P coïncide avec A, par exemple, ses projections sur (AB) et (CA) coïncident toutes deux avec A. Deux sommets du prétendu triangle podaire se confondent. La définition impose donc de choisir P distinct de A, B et C.

Pied hors d'un côté. Une projection peut ne pas tomber sur le segment tracé. Ce n'est pas une absence de solution : on utilise la droite qui prolonge le côté, puis on conserve le pied obtenu pour construire le triangle podaire.

La fiche projection approfondit le geste géométrique qui produit chacun des trois pieds.

La droite de Simson éclaire le cas frontière où le point P appartient au cercle circonscrit.

La fiche cévienne donne le vocabulaire nécessaire pour distinguer sans ambiguïté triangle podaire et triangle pédal.