droite de Simson

Tracez un triangle et placez un point sur le cercle qui passe par ses trois sommets. Depuis ce point, faites tomber une perpendiculaire sur chacune des trois droites qui portent les côtés. Les trois points d'arrivée se rangent alors sur une même droite : la droite de Simson.

Ce phénomène caractérise exactement le cercle circonscrit. Si les trois pieds sont alignés, le point de départ appartient à ce cercle, et réciproquement.

Soit un triangle non dégénéré de sommets A, B et C. On choisit un point M du plan, puis on note D, E et F les projections orthogonales de M sur les droites qui portent respectivement les côtés AB, AC et BC. Une projection orthogonale est le pied de la perpendiculaire menée depuis M vers la droite considérée.

Le théorème de Wallace-Simson affirme que D, E et F sont alignés si et seulement si M appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. Quand cette condition est remplie, leur droite commune est la droite de Simson de M relativement au triangle ABC. Les projections portent sur les droites complètes : un pied peut donc se trouver au-delà d'un sommet, sur le prolongement d'un côté.

Le nom « droite de Wallace-Simson » rappelle une attribution discutée. Le résultat est traditionnellement attribué à Robert Simson, mais il semble dû à William Wallace (1768-1843). Chaque point du cercle circonscrit fournit sa propre droite ; l'ensemble de ces droites admet pour enveloppe la deltoïde de Steiner, une hypocycloïde à trois rebroussements centrée au centre du cercle d'Euler du triangle.

La construction réunit cinq éléments. Le triangle ABC fournit trois droites supports. Son cercle circonscrit détermine les positions admissibles du point M. Depuis M, trois perpendiculaires rencontrent les supports en D, E et F. Enfin, l'alignement de ces trois pieds produit la droite de Simson.

La position de M dépend du cercle, tandis que celle de chaque pied dépend à la fois de M et d'un côté précis. Le triangle et M suffisent donc à construire les trois projections et leur droite commune. La couleur, l'épaisseur ou la longueur choisie pour représenter cette droite ne participent pas à sa définition ; seules comptent la perpendicularité et la position des pieds.

Prenons les points A(0, 0), B(6, 0) et C(0, 8). Leur triangle est rectangle en A. Le cercle circonscrit a pour centre O(3, 4) et pour rayon 5. Choisissons M(3, −1).

1. La distance de M à O vérifie $O{M}^2=(3-3{)}^2+(-1-4{)}^2=25OM^2=(3-3)^2+(-1-4)^2=25$, donc OM = 5. Le point M est donc sur le cercle circonscrit.
2. La projection de M sur AB est D(3, 0). Sa projection sur AC est E(0, −1).
3. En notant x et y les coordonnées d'un point, la droite BC a pour équation $4x+3y-24=04x+3y-24=0$. La projection de M sur BC est F(27/5, 4/5).

4. Les trois pieds vérifient la même équation :Le contrôle est direct : D donne 0 = 3/3 − 1, E donne −1 = 0/3 − 1 et F donne 4/5 = (27/5)/3 − 1. La droite obtenue est donc bien la droite de Simson de M. Cette construction montre aussi que E se situe sur le prolongement de AC, et non sur le segment AC.

Dans une construction géométrique, on peut déplacer M sur le cercle circonscrit et tracer ses trois projections. Leur alignement offre un contrôle visuel de la construction ; si les pieds cessent de partager une droite, il faut vérifier la position de M ou les angles droits.

Pour tester si un point appartient au cercle circonscrit, on peut construire les trois pieds et examiner leur alignement. Un contrôle direct par la distance au centre du cercle est souvent plus court lorsque ce centre et le rayon sont déjà connus.

Pour étudier toute la famille, on fait parcourir le cercle à M et l'on conserve les droites successives. Cette approche devient pertinente quand on cherche l'enveloppe des droites, la deltoïde de Steiner, plutôt qu'une seule droite de Simson.

Droite de Simson et cercle circonscrit. Le cercle est le lieu possible du point M ; la droite passe par les trois projections de ce point. Dans l'exemple, M appartient au cercle de centre O(3, 4), tandis que D, E et F appartiennent à une autre droite.

Droite de Simson et deltoïde de Steiner. Une position de M donne une droite. Lorsque M parcourt tout le cercle circonscrit, la famille de ces droites enveloppe une courbe à trois rebroussements : la deltoïde, qui n'est donc pas elle-même une droite de Simson.

Un pied sort du côté. L'absence apparente d'un troisième pied sur un segment ne réfute pas le théorème. Il faut prolonger la droite du côté : dans l'exemple, E(0, −1) est sous A sur la droite AC.

M n'est pas sur le cercle. Les trois projections ne sont alors pas alignées. Deux pieds déterminent toujours une droite, mais le troisième n'y appartient pas ; il faut contrôler les trois points, pas seulement en relier deux.

M coïncide avec un sommet. Deux projections peuvent alors se confondre avec ce sommet. Le troisième pied et le sommet déterminent encore la droite de Simson, mais trois marques distinctes ne seront pas visibles.

Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, ils ne déterminent pas le cercle circonscrit requis par l'énoncé. La construction de la droite de Simson dans ce cadre n'est donc pas définie par ce théorème.

L'article hypocycloïde précise la famille de courbes à laquelle appartient la deltoïde de Steiner, enveloppe des droites de Simson.

La fiche Alignés revient sur le critère géométrique central : reconnaître que plusieurs points appartiennent à une même droite.