GéométrieNotion · Glossaire
Alignés
Des points sont dits alignés s'ils appartiennent tous à une même droite. En géométrie cartésienne, trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul. Algébriquement, A(x1,y1), B(x2,y2) et C(x3,y3) sont alignés si (x2-x1)(y3-y1) - (x3-x1)(y2-y1) = 0. En géométrie projective, toute paire de points distincts détermine une droite unique, et l'alignement est une notion fondamentale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître ce que signifie l’appartenance de plusieurs points à une même droite.
- Vérifier un alignement dans le plan avec un déterminant.
- Traiter correctement les droites verticales, les points confondus et les coordonnées approchées.
En clair
Imaginez trois punaises placées sur une feuille. Si le bord d’une règle peut passer exactement par les trois centres, les points correspondants sont alignés. Leur ordre et les distances qui les séparent n’ont aucune importance : seule compte leur appartenance à une même droite.
Sur un dessin, la règle donne un contrôle visuel. Dans un repère, les coordonnées permettent une vérification exacte : on compare les directions qui vont du premier point vers les deux autres.
Définition
Des points sont alignés lorsqu’il existe une droite qui les contient tous. Cette propriété ne dépend ni de l’ordre dans lequel on nomme les points, ni de leur espacement. Deux points sont donc toujours alignés ; à partir de trois points, la condition devient réellement informative.
Dans le plan cartésien, soient trois points A, B et C de coordonnées respectives (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3). Les points sont alignés exactement lorsque les vecteurs allant de A vers B et de A vers C sont colinéaires. Le critère s’écrit :
Cette écriture est le déterminant des deux vecteurs. Elle reste valable lorsqu’une droite est verticale, contrairement à une comparaison de pentes qui demanderait une division par zéro.
En géométrie projective, deux points distincts déterminent une droite unique. L’alignement y exprime une relation d’incidence fondamentale : plusieurs points sont incidents à une même droite.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier l’alignement des points A(1, 2), B(3, 5) et C(7, 11). Les six coordonnées sont les seules données nécessaires. La figure associée représente ces mêmes points dans un repère, sans servir de preuve à elle seule.
1. On forme le vecteur allant de A vers B : ses coordonnées sont (3 − 1, 5 − 2), soit (2, 3).
2. On forme le vecteur allant de A vers C : ses coordonnées sont (7 − 1, 11 − 2), soit (6, 9).
2. On forme le vecteur allant de A vers C : ses coordonnées sont (7 − 1, 11 − 2), soit (6, 9).
3. On calcule leur déterminant :
Le déterminant nul montre que les deux vecteurs sont colinéaires. Les points A, B et C sont donc alignés.
Un contrôle indépendant consiste à remarquer que le vecteur allant de A vers C vaut trois fois celui allant de A vers B : (6, 9) = 3 × (2, 3). On retrouve ainsi la même direction, sans utiliser les distances dans la représentation.
En pratique
Dans une construction géométrique, une règle permet de tracer la droite passant par deux points, puis d’observer si le troisième appartient au même trait. Si le dessin est imprécis, le calcul sur les coordonnées fournit un contrôle plus fiable.
Dans un repère, le déterminant est préférable à la comparaison des pentes. Il traite de la même façon les droites obliques et verticales, sans division.
Dans un raisonnement de géométrie, établir que deux vecteurs issus d’un même point sont colinéaires permet de conclure à l’alignement des trois points correspondants. Réciproquement, un alignement déjà connu donne cette colinéarité.
À ne pas confondre
Points alignés et vecteurs colinéaires. L’alignement concerne des points contenus dans une même droite ; deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’il existe un nombre par lequel multiplier l’un pour obtenir l’autre. Pour trois points A, B et C, les deux critères deviennent équivalents quand on compare les vecteurs allant de A vers B et de A vers C.
Points alignés et points régulièrement espacés. Des points peuvent appartenir à une même droite sans être équidistants. Dans l’exemple A(1, 2), B(3, 5), C(7, 11), le segment BC est deux fois plus long que le segment AB, alors que les trois points sont alignés.
Limites et pièges
Deux points seulement. Deux points distincts déterminent toujours une droite, donc leur alignement ne fournit aucune information supplémentaire. Pour tester une configuration non triviale, il faut au moins un troisième point.
Points confondus. Si deux des points coïncident, le vecteur qui les relie est nul et le déterminant s’annule. L’alignement reste vrai, mais les deux points confondus ne déterminent pas à eux seuls une droite unique ; il faut un autre point distinct.
Changement de dimension. La formule à deux coordonnées donnée ici concerne le plan cartésien. Dans l’espace, il faut vérifier que les trois composantes des deux vecteurs sont proportionnelles, et non réutiliser seulement les coordonnées x et y.
Coordonnées mesurées ou arrondies. Un déterminant très petit mais non nul ne prouve pas un alignement exact. Avec des mesures, la conclusion doit tenir compte de leur incertitude ; avec des coordonnées exactes, le critère exige exactement zéro.
Pour aller plus loin
La fiche Colinéaires (vecteurs) approfondit la relation entre directions vectorielles qui fournit le critère algébrique d’alignement.
L’article Les barycentres pour démontrer présente un autre outil permettant d’établir des alignements dans des raisonnements géométriques.
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