C’est surtout la remarquable propriété dite d’associativité du barycentre qui fait de ce concept un outil privilégié pour démontrer alignement de points et concours de droites. On parlera ici du barycentre d’un système de n points pondérés {A1(a1), A2(a2)… A*n(an*)}. La propriété en question revêt une forme simple : on ne change pas le barycentre d’un système de points pondérés en remplaçant un ou plusieurs de ses points par leur propre barycentre, affecté de la somme (non nulle) des masses correspondantes. Associer (ou d’ailleurs dissocier) ainsi des points permettra non seulement de mettre en évidence des propriétés élémentaires de certaines configurations, mais de démontrer de façon rapide et élégante, en évitant tout calcul, qu’un certain nombre de points sont alignés, ou que plusieurs droites concourent en un même point.
Le b-a-ba du barycentre
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Le barycentre, évanescent dans les programmes scolaires d’aujourd’hui, permet de situer des points les uns par rapport aux autres, et se montre bien utile même dans des contextes géométriquement simples. Par exemple, si l’on sait généralement que les trois médianes d’un triangle sont concourantes au « centre de gravité », on peut ignorer sa place réelle. En prenant le problème à l’envers et en s’intéressant au barycentre des trois sommets A, B et C auxquels on attribuera à chacun la masse 1, on peut à la fois situer exactement celui-ci et montrer que c’est bien l’intersection des médianes. En effet, en groupant, par associativité, les points B(1) et C(1), dont le barycentre est le milieu I du segment [BC], à qui on prendra soin d’accorder la masse 2, il s’avère que G, barycentre du système {A(1), B(1), C(1)}, est aussi celui d’un autre système : {I(2), A(1)}.
