È soprattutto la notevole proprietà detta di associatività del baricentro a rendere questo concetto uno strumento privilegiato per dimostrare l’allineamento di punti e la concorrenza di rette. Parleremo qui del baricentro di un sistema di n punti ponderati {A1(a1), A2(a2)… A*n(an*)}. La proprietà in questione ha una forma semplice: il baricentro di un sistema di punti ponderati non cambia se uno o più dei suoi punti vengono sostituiti dal loro stesso baricentro, cui si assegna la somma non nulla delle masse corrispondenti. Associare, o del resto dissociare, in questo modo dei punti permetterà non solo di mettere in evidenza proprietà elementari di certe configurazioni, ma anche di dimostrare in modo rapido ed elegante, evitando ogni calcolo, che alcuni punti sono allineati oppure che più rette concorrono in uno stesso punto.
L’ABC del baricentro
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Il baricentro, pressoché scomparso dai programmi scolastici odierni, permette di collocare i punti gli uni rispetto agli altri e si rivela molto utile anche in contesti geometricamente semplici. Per esempio, se in genere si sa che le tre mediane di un triangolo concorrono nel «baricentro», se ne può ignorare l’esatta posizione. Affrontando il problema al contrario e considerando il baricentro dei tre vertici A, B e C, ai quali assegniamo tutti massa 1, possiamo sia collocarlo esattamente sia mostrare che è proprio l’intersezione delle mediane. Infatti, raggruppando per associatività i punti B(1) e C(1), il cui baricentro è il punto medio I del segmento [BC], cui occorre assegnare massa 2, si scopre che G, baricentro del sistema {A(1), B(1), C(1)}, è anche quello di un altro sistema: {I(2), A(1)}.
