Infatti, un sottoinsieme D del piano è convesso se, ogni volta che si scelgono due punti qualsiasi A e B di D, il segmento che li unisce è anch’esso interamente contenuto in D. I punti del segmento sono infatti baricentri a coefficienti positivi del sistema formato dai due estremi del segmento. Per associatività del baricentro, la proprietà equivale a dire che ogni baricentro a coefficienti positivi di un numero finito di punti di D appartiene a D.
Uno dei problemi che si incontrano nelle applicazioni della convessità è determinare l’inviluppo convesso di un dominio: esso è definito come il più piccolo convesso che contiene il dominio. È quindi anche l’intersezione di tutti i convessi che lo contengono.
Il teorema di Carathéodory-Steinitz ------------------------------------
Benché ciò appaia spesso evidente dal punto di vista grafico, l’inviluppo convesso di un dominio è talvolta difficile da trovare. Come trovare infatti tutti i convessi che lo contengono? Da qui l’interesse del seguente risultato: ogni punto dell’inviluppo convesso di un sottoinsieme D del piano è un baricentro a coefficienti positivi di al più tre punti di D. Questo teorema, nel caso in cui D sia limitato, risale al 1907 ed è dovuto al matematico greco Constantin Carathéodory (1873–1950). Fu generalizzato nel 1914 dal matematico tedesco Ernst Steinitz (1871–1928) a tutti i sottoinsiemi D, limitati o meno.
Inoltre, in seguito a successivi affinamenti dimostrati nel 1929 dal matematico danese di origine tedesca Moritz Werner Fenchel (1905–1988), poi nel 1934 dall’olandese Lucas Nicolaas Hendrik Bunt (1905?1984), se D possiede al più due componenti connesse («pezzi»), ogni punto dell’inviluppo convesso di D è un baricentro a coefficienti positivi di due punti di D: non occorre prenderne di più!
Tutti questi risultati si generalizzano agli spazi di dimensione n (con n + 1 punti in generale e n punti se il dominio D possiede al più n componenti connesse).