En efecto, un subconjunto D del plano es convexo si, cada vez que se eligen dos puntos cualesquiera A y B de D, el segmento que los une está también contenido por completo en D. Los puntos del segmento son, de hecho, baricentros con coeficientes positivos del sistema formado por los dos extremos de dicho segmento. Por asociatividad del baricentro, la propiedad equivale a decir que todo baricentro con coeficientes positivos de un número finito de puntos de D pertenece a D.
Uno de los problemas que surgen en las aplicaciones de la convexidad es determinar la envolvente convexa de un dominio: se define como el menor conjunto convexo que contiene el dominio. Por tanto, también es la intersección de todos los convexos que lo contienen.
El teorema de Carathéodory-Steinitz
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Aunque a menudo parezca evidente desde el punto de vista gráfico, la envolvente convexa de un dominio resulta a veces difícil de hallar. En efecto, ¿cómo encontrar todos los convexos que lo contienen? De ahí el interés del siguiente resultado: todo punto de la envolvente convexa de un subconjunto D del plano es un baricentro con coeficientes positivos de a lo sumo tres puntos de D. Este teorema, en el caso de que D sea acotado, data de 1907 y se debe al matemático griego Constantin Carathéodory (1873–1950). En 1914 fue generalizado por el matemático alemán Ernst Steinitz (1871–1928) a todos los subconjuntos D, acotados o no.
Además, tras sucesivos perfeccionamientos demostrados en 1929 por el matemático danés de origen alemán Moritz Werner Fenchel (1905–1988) y después, en 1934, por el neerlandés Lucas Nicolaas Hendrik Bunt (1905?1984), si D tiene como mucho dos componentes conexas («trozos»), todo punto de la envolvente convexa de D es un baricentro con coeficientes positivos de dos puntos de D: ¡no hace falta tomar más!
Todos estos resultados se generalizan a espacios de dimensión n (con n + 1 puntos en general y n puntos si el dominio D tiene como mucho n componentes conexas).
