Descubriendo las curvas baricéntricas

Estudiadas por el matemático italiano Ernesto Cesàro (1859–1906) en la década de 1880, se definen a partir de una curva inicial (Γ₀), a menudo llamada línea fundamental. Una curva baricéntrica asociada a (Γ₀) es el lugar geométrico de los centros de gravedad de los arcos de la curva (Γ₀) tomados a partir de un punto fijo de (Γ₀). El «centro de gravedad» debe entenderse aquí como el baricentro continuo de un sistema infinito de puntos.

El vector de velocidad de estos centros de gravedad sucesivos apunta siempre hacia el punto de la línea fundamental, de modo que la curva baricéntrica es una curva de persecución (véase Courbes et Trajectoires, Bibliothèque Tangente 74, 2021). Por supuesto, asociada a una línea fundamental, existe una infinidad de curvas baricéntricas según el punto fijo elegido.

Estudiemos un primer ejemplo. En el plano con un sistema de coordenadas ortonormal, si tomamos como línea fundamental una recta (D) y como punto fijo un punto cualquiera de esta recta, la curva baricéntrica asociada es la propia (D).

Tomemos ahora como línea fundamental la circunferencia de centro O (0, 0) y radio 1, y como punto fijo el punto F de coordenadas (1, 0). Cuando M₀ recorre la circunferencia, el punto variable M de la curva baricéntrica queda definido como el centro de gravedad del arco $$. En la figura contigua, el punto M₀ ha recorrido la circunferencia cinco veces. La curva baricéntrica asociada (en rojo) es una cocleoide. Sus ecuaciones paramétricas son$x(t)=\frac{\sin t}{t}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{y}(\mathrm{t})=\frac{1-\cos \mathrm{t}}{\mathrm{t}}$

Mencionada en 1699 por el matemático británico John Wallis (1616–1703), la cocleoide también puede definirse como la proyección central de una hélice circular cuando el centro de proyección se elige sobre esta última.

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