El origami y, de manera más general, las técnicas de plegado de una hoja de papel dan lugar a hermosas incursiones en el mundo de la geometría, la topología y la combinatoria (véase nuestro dossier «Las matemáticas del plegado» en Tangente 146, 2012). Si ampliamos el abanico de operaciones permitidas, por ejemplo permitiéndonos cortar la hoja de papel, ¿qué nuevas perspectivas se abren? El caso de las tarjetas desplegables (o pop-ups en inglés) ya es, por sí solo, muy instructivo y ofrece vías de investigación originales y accesibles para todos los aficionados a la bella geometría.
Casco, dulce casco
La ingeniera Stephanie Jakus y el matemático Joseph O’Rourke se interesaron por una tarjeta particular. Antes de empezar, conviene saber distinguir entre un pliegue valle y un pliegue montaña. En el primer caso, la recta que contiene el pliegue puede servir de apoyo (inestable) para la hoja; se representa esquemáticamente mediante una línea discontinua. En el segundo, el pliegue forma una cresta; se representa alternando trazos y puntos.
El pliegue valle y el pliegue montaña.
Para construir la tarjeta de Jakus y O’Rourke, empezamos doblándola en dos solapas mediante un pliegue valle. En el centro dibujamos un círculo. En la zona delimitada por el círculo recortamos finas tiras de papel, perpendiculares al pliegue. Al abrir la tarjeta (designamos por α el ángulo de apertura), si doblamos estas tiras de papel hacia fuera mediante un pliegue montaña a lo largo del diámetro —precisamente por donde pasa el pliegue valle—, obtenemos una figura parecida a la visera de un casco. Ambos se preguntaron entonces cuál era la naturaleza de la curva obtenida en el borde de la visera, en un plano medio de las dos caras de la tarjeta.
