La matematica delle carte pop-up

L’origami e, più in generale, le tecniche di piegatura di un foglio di carta offrono splendide escursioni nel mondo della geometria, della topologia e della combinatoria (vedi il nostro dossier «La matematica della piegatura» in Tangente 146, 2012). Se si amplia la gamma delle operazioni consentite, per esempio autorizzando il taglio del foglio di carta, quali nuove prospettive si aprono? Il caso delle carte pop-up (o pop-ups in inglese) è già di per sé ricco di insegnamenti e offre piste di ricerca originali e accessibili a tutti gli amanti della bella geometria.

L’ingegnera Stephanie Jakus e il matematico Joseph O’Rourke si sono interessati a una carta particolare. Prima di cominciare, occorre saper distinguere una piega a valle da una piega a monte. Nel primo caso, la retta che contiene la piega può fungere da sostegno instabile per il foglio; la si indica schematicamente con una linea tratteggiata. Nel secondo, la piega forma una cresta; la si indica con un’alternanza di trattini e punti.

Per costruire la carta di Jakus e O’Rourke, si comincia piegandola in due ante mediante una piega a valle. Al centro si disegna un cerchio. Nella regione delimitata dal cerchio si ritagliano sottili strisce di carta, perpendicolari alla piega. Aprendo la carta (indichiamo con α l’angolo di apertura), se si ripiegano queste strisce verso l’esterno mediante una piega a monte lungo il diametro, precisamente là dove passa la piega a valle, si ottiene una figura simile alla visiera di un elmo. I due studiosi si chiesero allora quale fosse la natura della curva ottenuta lungo il bordo della visiera, nel piano mediano delle due facce della carta.