Alla scoperta delle curve baricentriche

Studiate dal matematico italiano Ernesto Cesàro (1859–1906) negli anni Ottanta dell’Ottocento, si definiscono a partire da una curva iniziale (Γ₀), spesso chiamata linea fondamentale. Una curva baricentrica associata a (Γ₀) è il luogo dei centri di gravità degli archi della curva (Γ₀) aventi origine in un punto fisso di (Γ₀). Il «centro di gravità» va qui inteso come il baricentro continuo di un sistema infinito di punti.

Il vettore velocità di questi successivi centri di gravità è sempre diretto verso il punto della linea fondamentale, perciò la curva baricentrica è una curva di inseguimento (vedi Courbes et Trajectoires, Bibliothèque Tangente 74, 2021). Naturalmente, a una linea fondamentale corrisponde un’infinità di curve baricentriche, a seconda del punto fisso scelto.

Esaminiamo un primo esempio. Nel piano munito di un sistema di riferimento ortonormale, se prendiamo come linea fondamentale una retta (D) e come punto fisso un punto qualsiasi di questa retta, la curva baricentrica associata coincide con (D).

Ora prendiamo come linea fondamentale la circonferenza di centro O (0, 0) e raggio 1, e come punto fisso il punto F di coordinate (1, 0). Quando M₀ percorre la circonferenza, il punto corrente M della curva baricentrica è dunque definito come il centro di gravità dell’arco $$. Nella figura a fianco, il punto M₀ ha percorso la circonferenza cinque volte. La curva baricentrica associata (in rosso) è una cocleoide. Le sue equazioni parametriche sono$x(t)=\frac{\sin t}{t}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{y}(\mathrm{t})=\frac{1-\cos \mathrm{t}}{\mathrm{t}}$

Segnalata nel 1699 dal matematico britannico John Wallis (1616–1703), la cocleoide può anche essere definita come la proiezione centrale di un’elica circolare quando il centro di proiezione è scelto su quest’ultima.

Il sito Mathcurve (www.mathcurve.com, enciclopedia online delle forme notevoli), gestito da Robert Ferréol.