Studiate dal matematico italiano Ernesto Cesàro (1859–1906) negli anni Ottanta dell’Ottocento, si definiscono a partire da una curva iniziale (Γ0), spesso chiamata linea fondamentale. Una curva baricentrica associata a (Γ0) è il luogo dei centri di gravità degli archi della curva (Γ0) aventi origine in un punto fisso di (Γ0). Il «centro di gravità» va qui inteso come il baricentro continuo di un sistema infinito di punti.
Il vettore velocità di questi successivi centri di gravità è sempre diretto verso il punto della linea fondamentale, perciò la curva baricentrica è una curva di inseguimento (vedi Courbes et Trajectoires, Bibliothèque Tangente 74, 2021). Naturalmente, a una linea fondamentale corrisponde un’infinità di curve baricentriche, a seconda del punto fisso scelto.
Esaminiamo un primo esempio. Nel piano munito di un sistema di riferimento ortonormale, se prendiamo come linea fondamentale una retta (D) e come punto fisso un punto qualsiasi di questa retta, la curva baricentrica associata coincide con (D).
Ora prendiamo come linea fondamentale la circonferenza di centro O (0, 0) e raggio 1, e come punto fisso il punto F di coordinate (1, 0). Quando M0 percorre la circonferenza, il punto corrente M della curva baricentrica è dunque definito come il centro di gravità dell’arco \stackrel{\frown}{\mathrm{FM_0}}. Nella figura a fianco, il punto M0 ha percorso la circonferenza cinque volte. La curva baricentrica associata (in rosso) è una cocleoide. Le sue equazioni parametriche sonox(t)=sin⁡ttety(t)=1−cos⁡ttx(t)=\frac{\sin t}{t}\quad \rm{et}\quad y(t)=\frac{1-\cos t}{t}
Segnalata nel 1699 dal matematico britannico John Wallis (1616–1703), la cocleoide può anche essere definita come la proiezione centrale di un’elica circolare quando il centro di proiezione è scelto su quest’ultima.
RIFERIMENTO
Il sito Mathcurve (www.mathcurve.com, enciclopedia online delle forme notevoli), gestito da Robert Ferréol.