Molti paesi si contendono il titolo di centro geografico della Francia. Si tratta però sempre del baricentro. Si potrebbe pensare a un’altra definizione: il punto «più lontano possibile» da ogni paese straniero, quello per cui la distanza da percorrere per raggiungere il confine (o il mare) è massima. Questa nozione pone bei problemi matematici, sia nella sua definizione, sia per quanto riguarda la sua esistenza e la sua determinazione!
Precisiamo le definizioni!
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Quando si parla di «distanza dal confine», si sottintende la distanza minima. Si tratta dunque di un problema di massimizzazione di un minimo, di quelli che i matematici amano particolarmente. Per semplificare, mettiamoci nel piano, con la distanza in linea d’aria, quella abituale (distanza euclidea per i matematici). Prima di essere il confine di un paese, l’insieme X sarà un qualunque sottoinsieme chiuso non vuoto del piano, così da poter esaminare anzitutto casi semplici.
La distanza r (M) di un punto M del piano da X è l’estremo inferiore delle distanze tra M e i punti di X. In pratica la si ottiene allargando poco a poco i cerchi di centro M, fino a incontrare X: il disco chiuso di centro M e raggio r (M) deve contenere punti di X, ma solo sulla sua frontiera; si ottiene così il massimo disco vuoto di centro M.
Cerchiamo dunque i punti di massima lontananza, ossia i punti M che massimizzano r (M) rispetto a X. Se un qualunque punto M si allontana da uno di tali punti M0, la sua distanza da X diminuisce; in altre parole, il disco chiuso di centro M e raggio r (M0) incontra X.
