Beaucoup de villages se disputent le titre de centre géographique de la France. Il s’agit alors toujours du centre de gravité. Mais on pourrait penser à une autre définition : celle de point « le plus éloigné possible » de tout pays étranger, où la distance à parcourir pour arriver à la frontière (ou à la mer) est la plus grande possible. Cette notion pose de jolis problèmes mathématiques, à la fois dans sa définition, pour son existence et pour sa détermination !
Précisons les définitions ! ---------------------------
Quand on parle de « distance à la frontière », on sous-entend la distance minimale. Il s’agit donc d’un problème de maximisation d’un minimum, dont sont friands les mathématiciens. Pour simplifier, plaçons-nous dans le plan, avec la distance à vol d’oiseau, la distance habituelle (distance euclidienne pour les mathématiciens). Avant d’être la frontière d’un pays, l’ensemble X sera une partie fermée quelconque (non vide) du plan, ce qui permettra de regarder d’abord des cas simples.
La distance r (M) d’un point M du plan à X est la borne inférieure des distances de M aux points de X. On l’obtient concrètement en élargissant petit à petit les cercles de centre M, jusqu’à rencontrer X : le disque fermé de centre M et de rayon r (M) doit contenir des points de X, mais uniquement sur sa frontière, appelée plus grand cercle vide de centre M.
On recherche donc les points d’éloignement maximal, à savoir les points M qui maximisent r (M) pour X. Si un point M quelconque s’éloigne d’un tel point M0, sa distance à X diminue ; autrement dit, le disque fermé de centre M et de rayon r (M0) rencontre X.