Placer des points sur la sphère de telle sorte que tous ces points soient les plus éloignés possible les uns des autres : ce problème s’appelle problème des dictateurs ennemis car si des dictateurs voulaient se partager la Terre, ils souhaiteraient être les plus éloignés les uns des autres afin de se tailler des empires les plus grands ! On parle également de problème de Tammes car, en 1930, le botaniste néerlandais Pieter Merkus Lambertus Tammes (1903–1980) s’est posé le problème du placement des spores sur un grain de pollen, répartition qui suit la même règle.
Il n’existe pas de solution générale à ce problème, bien que de nombreux mathématiciens, parmi lesquels le Hongrois Laszlo Fejes Tóth (1915–2005), le Néerlandais Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996), bien connu pour son traité d’algèbre, le Britannique Harold Scott MacDonald Coxeter (1907–2003) ou le Français Marcel Berger (1927–2016), se soient attaqués au sujet. Ce sujet est l’archétype de la question qui s’énonce simplement, qui est compréhensible par tout un chacun, mais qui n’a pas encore reçu de réponse générale, et où les solutions particulières peuvent être contre-intuitives.
Des réponses partielles
On ne connaît des solutions optimales au problème des dictateurs ennemis que pour des valeurs assez faibles de n. Pour n = 2, il suffit de placer deux points diamétralement opposés (par exemple, aux pôles). Pour n = 3, la solution est de placer les trois points sur les sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans un grand cercle de la sphère.
