Son muchos los pueblos que se disputan el título de centro geográfico de Francia. Se trata siempre del centro de gravedad. Pero cabría pensar en otra definición: la del punto «más alejado posible» de cualquier país extranjero, aquel desde el que la distancia que hay que recorrer para llegar a la frontera —o al mar— es máxima. Esta noción plantea interesantes problemas matemáticos, tanto en su definición como en su existencia y determinación.
¡Precisemos las definiciones!
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Cuando hablamos de «distancia a la frontera», sobreentendemos la distancia mínima. Se trata, pues, de un problema de maximización de un mínimo, que tanto gustan a los matemáticos. Para simplificar, situémonos en el plano y usemos la distancia en línea recta, la habitual (distancia euclídea para los matemáticos). Antes de ser la frontera de un país, el conjunto X será una parte cerrada cualquiera —no vacía— del plano, lo que permitirá examinar primero casos sencillos.
La distancia r(M) de un punto M del plano a X es el ínfimo de las distancias de M a los puntos de X. En la práctica, se obtiene ampliando poco a poco las circunferencias de centro M hasta encontrar X: el disco cerrado de centro M y radio r(M) debe contener puntos de X, pero únicamente en su frontera, y constituye el mayor círculo vacío con centro en M.
Buscamos, por tanto, los puntos de alejamiento máximo, es decir, los puntos M que maximizan r(M) para X. Si un punto M cualquiera se aleja de uno de esos puntos M0, su distancia a X disminuye; dicho de otro modo, el disco cerrado de centro M y radio r(M0) corta a X.
