¿Cómo saber que una estrella es «más grande» que la Luna? ¡Al comprobar que está «mucho» más lejos! Pero no podemos sacar una cinta métrica y extenderla para medir la distancia entre los cuerpos celestes. Hay que ingeniárselas y avanzar paso a paso. Primero se determina la distancia de un objeto relativamente cercano. Después se utiliza ese conocimiento para deducir la distancia de otro objeto algo más lejano. Este principio recibe el nombre de escala de distancias: en cada escalón, nos apoyamos en el peldaño anterior para alcanzar el siguiente. El primer escalón de la escala de distancias es el diámetro de la Tierra.
El diámetro de la Tierra
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El primer escrito conocido acerca de la esfericidad de la Tierra es el Rig-Veda, un texto sagrado hindú que data de unos 1500 años antes de nuestra era.
En la antigua Grecia, Aristóteles (–384; –322) demostró que la Tierra es redonda observando la forma de la sombra terrestre durante los eclipses lunares.
En suma, para Eratóstenes (hacia –276; hacia –194) no cabía duda de que la Tierra es redonda. Sabiéndolo, se propuso medir su circunferencia.
Al parecer, en Siena, al sur del Egipto actual, había un pozo cuyo fondo quedaba iluminado por el Sol al mediodía del día del solsticio de verano. Si suponemos que el pozo estaba excavado verticalmente, el Sol se encontraba, por tanto, en el cenit al mediodía. En realidad, Siena está situada en el paralelo 24, así que no exactamente sobre el trópico, aunque no muy lejos.
Eratóstenes estimó que la ciudad de Alejandría, al norte de Egipto, está en el mismo meridiano que Siena. El día del solsticio utilizó un gnomon (una varilla rectilínea clavada verticalmente, cuya sombra puede seguirse y medirse en el suelo) para determinar el ángulo que formaba el Sol con la vertical. Midió así un ángulo de 7°.
Si suponemos que el Sol S está «infinitamente lejos» de la Tierra, los rayos de S que llegan a Siena son paralelos a los que llegan a Alejandría. Por tanto, el ángulo entre los rayos solares y el gnomon en Alejandría es el mismo que el formado por Siena, el centro de la Tierra y Alejandría (ángulos en rojo oscuro en el esquema).
Sabiendo que hay cinco mil estadios entre Siena y Alejandría, dedujo mediante una regla de tres que la circunferencia de la Tierra es igual a (5 000 × 360) / 7, es decir, 250 000 estadios.
Por desgracia, no conocemos exactamente el valor del estadio, que además variaba de un lugar a otro, pero se estima que doscientos cincuenta mil estadios equivalen aproximadamente a cuarenta mil kilómetros. Y puesto que la circunferencia de un círculo vale π veces su diámetro, se obtiene un radio terrestre de 6 500 km. Hoy sabemos que el radio medio de la Tierra es de 6 371 km. ¡Eratóstenes no estuvo, por tanto, lejos del valor exacto, pese a las aproximaciones que tuvo que hacer!
Alcanzar la Luna
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Una vez conocido el diámetro de la Tierra, ¡es posible determinar el diámetro de la órbita de la Luna! En –270, Aristarco había observado que un eclipse lunar dura como máximo tres horas y que el diámetro aparente de la Luna es de 0,5°.
Un eclipse lunar se produce cuando la Luna (L) pasa por la sombra de la Tierra. Si el Sol está «suficientemente lejos», los rayos que llegan a la Tierra son todos paralelos entre sí. El diámetro de la sombra terrestre es entonces igual al radio de la Tierra.
Puesto que la Luna tarda tres horas en recorrer un radio terrestre, una regla de tres permite deducir que recorre (27 d × 24 h) / 3 h = 216 diámetros terrestres por órbita. Dicho de otro modo, la circunferencia de la órbita lunar mide 216 diámetros terrestres. El perímetro de un círculo es igual a π veces su diámetro. Por tanto, el diámetro de la órbita de L mide aproximadamente 70 diámetros terrestres (¡lo que pone de manifiesto que el esquema dista mucho de estar a escala!).
Aristarco encontró así que la Luna está a 450 000 km de la Tierra, mientras que el valor exacto es 380 000 km. Obtuvo, por tanto, el orden de magnitud correcto, pese a las aproximaciones que empleó, entre ellas:
• su estimación del radio de T no era exacta;
• la sombra de la Tierra es un cono, no un cilindro.
El Sol… o no
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Una vez conocida la distancia Tierra-Luna, Aristarco se propuso medir la distancia Tierra-Sol. Para ello tuvo una idea bastante ingeniosa: cuando la recta (TL) es perpendicular a la recta (TS), vemos «algo más» que un cuarto de Luna. Dicho de otro modo, cuando un observador situado en el lado nocturno de la Tierra ve con gran precisión un cuarto de Luna, el ángulo entre la Luna, la Tierra y el Sol es inferior a 90°.
Basta entonces medir ese ángulo y usar un poco de trigonometría para deducir la distancia TS. Aristarco estima que este ángulo mide 87°. En el momento del cuarto, se obtiene en el triángulo TLS:
Según Aristarco, S está por tanto veinte veces más lejos de T que L, lo que corresponde a una distancia Tierra-Sol de nueve millones de kilómetros.
El método de Aristarco era interesante, pero su estimación era inexacta: el ángulo entre el Sol, la Tierra y la Luna mide en realidad 89,85°. Medir este ángulo no es fácil: la superficie de la Luna no es lisa, por lo que el terminador no es un segmento de recta, y el Sol no es visible en el cielo en el momento de la medición. Además, como se toma el coseno del ángulo, ¡este error de menos de 3° se traduce en un error de más de cien millones de kilómetros! El Sol está, por tanto, mucho más lejos de la Tierra de lo que pensaba Aristarco.
Una vez calculada la distancia TS, Aristarco utilizó esta información para hallar el diámetro del Sol. Sabiendo que nuestro satélite y nuestro astro tienen el mismo diámetro aparente en el cielo, y pensando que el segundo estaba veinte veces más lejos de nosotros que el primero, aplicó el teorema de Tales para deducir que el Sol es veinte veces mayor que la Luna. Entonces se preguntó por qué el Sol habría de girar alrededor de la Tierra y no al contrario, puesto que el Sol es mayor. En suma, unas pocas observaciones y la geometría le permitieron cuestionar el modelo geocéntrico.
Llegar a los planetas
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Fue Copérnico, hacia 1543, quien dio con la clave para medir la distancia hasta los planetas. Puesto que todos los planetas orbitan alrededor del Sol, basta medir el ángulo θ en la bóveda celeste entre S y el planeta estudiado. Para un planeta interior como Venus (V), el ángulo θ es máximo cuando el ángulo formado por S, V y T es recto. Se tiene entonces sin(θ) = SV / ST.
Sin embargo, si no conocemos la distancia entre la Tierra y el Sol, esto solo nos proporciona una parte de la ecuación. Como todavía no sabemos determinar esa distancia, introducimos una nueva unidad de medida: la unidad astronómica (u. a.), que equivale a la distancia media entre la Tierra y el Sol. Aunque no sepamos a cuántos kilómetros equivale una unidad astronómica, podemos expresar siempre las distancias de los planetas en u. a.
El tránsito de Venus
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En el 17.º siglo, Johannes Kepler aplicó a la Tierra su modelo para describir las órbitas planetarias y determinó que, si el Sol estuviera a solo diez millones de kilómetros, como predice el modelo de Aristarco, deberíamos observar movimientos aparentes del Sol que en la práctica no se observan. De ello dedujo que Aristarco había subestimado la distancia TS.
Johannes Kepler (1571–1630).
Posteriormente, numerosos científicos intentaron medir la distancia TS, ¡con estimaciones que variaban en un factor de cien! Las estimaciones no empezaron a converger hasta el 18.º siglo.
Un tránsito es el paso de un astro o un planeta por delante de otro cuerpo celeste. Por ejemplo, cuando Venus o Mercurio pasa directamente entre el Sol y la Tierra. Entonces puede observarse cómo el planeta oscurece una parte del disco solar.
A principios del 17.º siglo, el astrónomo Edmond Halley (1656–1742) quedó muy impresionado al observar un tránsito de Mercurio. Este acontecimiento le hizo reflexionar mucho; publicó un artículo en el que explicaba cómo puede utilizarse el tránsito de un planeta para determinar el valor de la unidad astronómica.
Para el tránsito de Venus de 1761 se organizaron varias expediciones con el fin de observar el acontecimiento desde distintos lugares de la Tierra. Más de doscientos astrónomos observaron el fenómeno. Fue, en cierto modo, la primera gran colaboración científica internacional.
Según el punto de la Tierra desde el que se observe, Venus no transita por la misma porción del disco solar. El fenómeno dura entonces más o menos tiempo. Comparando la duración del tránsito de un lugar a otro, ¡podemos deducir el valor de la unidad astronómica!
Desde la Tierra veremos a Venus pasar por delante del disco solar, pero no todos los observadores verán a Venus en la misma posición respecto del Sol. En el esquema, el astrónomo del hemisferio sur verá a Venus recorrer el segmento rojo, mientras que el observador del hemisferio norte verá a Venus seguir el segmento verde.
Tras el tránsito de 1761, Johann Franz Encke halló una distancia TS de 153 millones de kilómetros, muy próxima a los 140 millones que conocemos hoy.
Johann Franz Encke (1791–1895).
Estas observaciones de 1761 no permitieron determinar con precisión el valor de la unidad astronómica, pues aún había errores de medición bastante grandes. Sin embargo, permitieron a los astrónomos prepararse para el tránsito de Venus de 1769. Sobre todo, el acontecimiento de 1761 marca el inicio de la convergencia de los distintos valores de la distancia TS.
En los años siguientes, las distintas estimaciones fueron acercándose cada vez más, hasta caber en un pañuelo. Se alcanzó entonces un consenso científico sobre el valor de la unidad astronómica.
Conociendo la distancia entre la Tierra y el Sol, por fin podemos determinar con precisión la distancia de todos los planetas a la Tierra.
Hoy disponemos de medios tecnológicos más sofisticados para medir la distancia de los objetos del sistema solar. En la Luna se colocaron reflectores que han permitido comprobar que la Luna se aleja de la Tierra unos 4 cm al año.
La distancia al Sol se mide con gran precisión mediante radar. ¡Esto refuerza nuestro conocimiento del sistema solar!
Este texto obtuvo el Premio Tangente al mejor artículo en 2021.
