Come sapere che una stella è «più grande» della Luna? Osservando che è «molto» più lontana! Ma non possiamo prendere un metro a nastro e tenderlo per misurare la distanza tra gli oggetti celesti. Bisogna ingegnarsi e procedere per gradi. Si determina anzitutto la distanza di un oggetto relativamente vicino. Poi si usa questa informazione per ricavarne la distanza di un oggetto un po’ più lontano. Questo principio si chiama scala delle distanze: a ogni gradino, ci si appoggia al piolo precedente per raggiungere quello successivo. Il primo gradino della scala delle distanze è il diametro della Terra.
Il diametro della Terra
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Il primo testo noto sulla sfericità della Terra è il Rig-Veda, un testo sacro induista risalente a circa 1500 anni prima della nostra era.
Nell’antica Grecia, Aristotele (–384; –322) dimostrò che la Terra è rotonda osservando la forma dell’ombra terrestre durante le eclissi lunari.
Insomma, per Eratostene (circa –276; circa –194) non c’erano dubbi sul fatto che la Terra fosse rotonda. Forte di questa certezza, si mise in testa di misurarne la circonferenza.
A Siene, nel sud dell’Egitto moderno, ci sarebbe stato un pozzo il cui fondo veniva illuminato dal Sole a mezzogiorno, nel giorno del solstizio d’estate. Supponendo che il pozzo fosse scavato verticalmente, il Sole si trovava dunque allo zenit a mezzogiorno. In realtà, Siene si trova sul ventiquattresimo parallelo, quindi non proprio sul tropico, ma poco distante.
Eratostene stimò che la città di Alessandria, nel nord dell’Egitto, si trovasse sullo stesso meridiano di Siene. Il giorno del solstizio usò uno gnomone (un bastone rettilineo piantato verticalmente, di cui si può seguire e misurare l’ombra sul terreno) per determinare l’angolo formato dal Sole con la verticale. Misurò così un angolo di 7°.
Se si suppone che il Sole S sia «infinitamente lontano» dalla Terra, allora i raggi di S che arrivano a Siene sono paralleli a quelli che arrivano ad Alessandria. L’angolo tra i raggi del Sole e lo gnomone ad Alessandria è dunque uguale all’angolo formato da Siene, il centro della Terra e Alessandria (gli angoli in rosso scuro nello schema).
Sapendo che tra Siene e Alessandria ci sono cinquemila stadi, ne dedusse con una proporzione che la circonferenza della Terra è uguale a (5 000 × 360) / 7, ossia 250 000 stadi.
Purtroppo non conosciamo con esattezza il valore dello stadio, che peraltro variava da un luogo all’altro, ma si stima che duecentocinquantamila stadi corrispondano a circa quarantamila chilometri. E poiché la circonferenza di un cerchio è pari a π volte il suo diametro, si ottiene per la Terra un raggio di 6 500 km. Oggi sappiamo che il raggio medio della Terra è di 6 371 km. Eratostene non era dunque lontano dal valore esatto, nonostante le approssimazioni che dovette fare!
Raggiungere la Luna
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Una volta noto il diametro della Terra, è possibile determinare il diametro dell’orbita della Luna! Nel 270 a.C., Aristarco aveva osservato che un’eclissi lunare dura al massimo tre ore e che il diametro apparente della Luna è di 0,5°.
Un’eclissi lunare si verifica quando la Luna (L) passa nell’ombra della Terra. Se il Sole è «abbastanza lontano», i raggi che arrivano sulla Terra sono tutti paralleli tra loro. Il diametro dell’ombra terrestre è allora uguale al raggio della Terra.
Poiché la Luna impiega tre ore a percorrere un raggio terrestre, si deduce con una proporzione che percorre (27 g × 24 h) / 3 h = 216 diametri terrestri a ogni orbita. In altre parole, la circonferenza dell’orbita della Luna è di 216 diametri terrestri. Il perimetro di un cerchio è uguale a π volte il suo diametro. Il diametro dell’orbita di L rappresenta dunque circa 70 diametri terrestri (il che fa notare quanto lo schema sia lontano dall’essere in scala!).
Aristarco trovò così che la Luna si trova a 450 000 km dalla Terra, mentre il valore esatto è di 380 000 km. Aristarco aveva dunque ottenuto il giusto ordine di grandezza, nonostante le approssimazioni usate, in particolare:
• la sua stima del raggio di T non era esatta;
• l’ombra della Terra è un cono, non un cilindro.
Il Sole… oppure no
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Una volta nota la distanza Terra–Luna, Aristarco si mise in testa di misurare la distanza Terra–Sole. A questo scopo ebbe un’idea piuttosto astuta: quando la retta (TL) è perpendicolare alla retta (TS), vediamo «un po’ più» di un quarto di Luna. Detto altrimenti, quando un osservatore sul lato notturno della Terra vede esattamente un quarto di Luna, l’angolo tra la Luna, la Terra e il Sole è inferiore a 90°.
Basta allora misurare questo angolo e usare un po’ di trigonometria per ricavarne la distanza TS. Aristarco stima che questo angolo sia di 87°. Al quarto di Luna, nel triangolo TLS si ottiene:
Secondo Aristarco, la distanza di S da T è dunque venti volte quella di L, il che corrisponde a una distanza Terra–Sole di nove milioni di chilometri.
Il metodo di Aristarco era interessante, ma la sua stima era inesatta: l’angolo tra il Sole, la Terra e la Luna è in realtà di 89,85°. Misurare questo angolo non è affatto facile: la superficie della Luna non è liscia, quindi il terminatore non è un segmento rettilineo, e il Sole non è visibile nel cielo al momento della misura. Inoltre, poiché si prende il coseno dell’angolo, questo errore di meno di 3° si traduce in un errore di oltre cento milioni di chilometri! Il Sole è dunque molto più lontano dalla Terra di quanto pensasse Aristarco.
Una volta calcolata la distanza TS, Aristarco usò questa informazione per trovare il diametro del Sole. Sapendo che il nostro satellite e il nostro astro hanno lo stesso diametro apparente nel cielo, e ritenendo che il secondo fosse venti volte più lontano da noi del primo, applicò il teorema di Talete per dedurne che il Sole è venti volte più grande della Luna. Si chiese allora perché il Sole avrebbe dovuto ruotare attorno alla Terra anziché il contrario, dato che il Sole è più grande. Insomma, un po’ di osservazione e di geometria gli permisero di mettere in discussione il modello geocentrico.
Raggiungere i pianeti
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Fu Copernico, attorno al 1543, a trovare la chiave per misurare la distanza dei pianeti. Poiché tutti i pianeti orbitano attorno al Sole, basta misurare l’angolo θ sulla volta celeste tra S e il pianeta studiato. Per un pianeta interno come Venere (V), l’angolo θ è massimo quando l’angolo formato da S, V e T è retto. Si ha allora sin(θ) = SV / ST.
Tuttavia, se non si conosce la distanza tra la Terra e il Sole, questo ci fornisce soltanto una parte dell’equazione. Poiché non sappiamo ancora determinare tale distanza, introduciamo una nuova unità di misura: l’unità astronomica (u.a.), pari alla distanza media tra la Terra e il Sole. Anche se non sappiamo quanti chilometri contiene un’unità astronomica, possiamo comunque esprimere le distanze dei pianeti in u.a.
Il transito di Venere
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Nel 17º secolo Johannes Kepler applicò alla Terra il suo modello per descrivere le orbite planetarie e stabilì che, se il Sole fosse stato a soli dieci milioni di chilometri, come prevede il modello di Aristarco, si sarebbero dovuti osservare movimenti apparenti del Sole che in pratica non si osservano. Ne dedusse che Aristarco aveva sottostimato la distanza TS.
Johannes Kepler (1571–1630).
In seguito, molti scienziati cercarono di misurare la distanza TS, con stime che andavano dal semplice al centuplo! Fu solo a partire dal 18º secolo che le stime cominciarono a convergere.
Un transito è il passaggio di un astro o di un pianeta davanti a un altro corpo celeste. Per esempio, quando Venere o Mercurio passa direttamente tra il Sole e la Terra. Si può allora osservare il pianeta che oscura una parte del disco solare.
All’inizio del 17º secolo, l’astronomo Edmond Halley (1656–1742) rimase molto colpito dall’osservazione di un transito di Mercurio. Questo evento lo fece molto riflettere; pubblicò un articolo in cui spiegava come usare il transito di un pianeta per determinare il valore dell’unità astronomica.
Per il transito di Venere del 1761 furono organizzate diverse spedizioni per osservare l’evento da vari luoghi della Terra. Più di duecento astronomi osservarono il fenomeno. Fu in un certo senso la prima grande collaborazione scientifica internazionale.
A seconda del luogo in cui ci si trova sulla Terra, Venere non transita davanti alla stessa porzione del disco solare. Il fenomeno dura quindi più o meno a lungo. Confrontando la durata del transito da un luogo all’altro, se ne può ricavare il valore dell’unità astronomica!
Dalla Terra vedremo Venere passare davanti al disco solare, ma non tutti gli osservatori la vedranno nella stessa configurazione rispetto al Sole. Nello schema, l’astronomo nell’emisfero sud vedrà Venere passare lungo il segmento rosso, mentre l’osservatore dell’emisfero nord la vedrà percorrere il segmento verde.
In seguito al transito del 1761, Johann Franz Encke trovò una distanza TS di 153 milioni di chilometri, molto vicina ai 140 milioni che conosciamo oggi.
Johann Franz Encke (1791–1895).
Queste osservazioni del 1761 non furono molto conclusive per determinare il valore dell’unità astronomica, poiché gli errori di misura erano ancora piuttosto grandi. Consentirono tuttavia agli astronomi di prepararsi al transito di Venere del 1769. Soprattutto, l’evento del 1761 segnò l’inizio della convergenza dei diversi valori della distanza TS.
Negli anni successivi, le diverse stime si concentrarono in un intervallo sempre più ristretto. Si raggiunse così un consenso scientifico sul valore dell’unità astronomica.
Nota la distanza Terra-Sole, si può dunque finalmente determinare con precisione la distanza di tutti i pianeti dalla Terra.
Oggi disponiamo di strumenti tecnologici più sofisticati per misurare la distanza degli oggetti nel sistema solare. Sulla Luna sono stati collocati dei riflettori che hanno permesso di constatare che la Luna si allontana dalla Terra di 4 cm ogni anno.
La distanza Terra-Sole è misurata con grande precisione mediante radar. La nostra conoscenza del sistema solare ne risulta accresciuta!
Questo testo ha vinto il Premio Tangente per il miglior articolo nel 2021.
